Logique et raisonnement

L'épreuve du bac ne récompense pas seulement les résultats justes : elle récompense les résultats établis. Un bon résultat sans justification perd la moitié des points ; une démonstration correcte d'un fait évident les rapporte tous. Ce chapitre n'apporte donc aucune formule nouvelle — il donne les cinq façons d'écrire « donc », et surtout le moyen de choisir la bonne.

Proposition, implication, équivalence

Une proposition est un énoncé qui est soit vrai, soit faux : jamais les deux, jamais ni l'un ni l'autre. « $7$ est premier » est une proposition, vraie. « $x^2 = 4$ » n'en est pas une tant qu'on ignore ce qu'est $x$ : c'est un prédicat, qui ne devient une proposition qu'une fois $x$ fixé ou quantifié.

L'implication $P \Rightarrow Q$ se lit « si $P$ alors $Q$ ». Sa table de vérité réserve une surprise à qui la découvre :

Un seul cas la rend fausse : $P$ vraie et $Q$ fausse. Autrement dit, $P \Rightarrow Q$ signifie exactement « $P$ ne peut pas être vraie sans que $Q$ le soit ». Les deux dernières lignes déconcertent, et sont pourtant indispensables : « si $n$ est divisible par $4$ alors $n$ est pair » doit rester vraie pour $n = 3$, où l'hypothèse ne s'applique tout simplement pas. Une implication ne dit rien des cas où son hypothèse est fausse.

L'équivalence $P \Leftrightarrow Q$ est la conjonction de deux implications : $(P \Rightarrow Q)$ et $(Q \Rightarrow P)$. C'est la conséquence de rédaction la plus lourde de tout le chapitre : démontrer une équivalence, c'est écrire deux démonstrations. Une seule flèche traitée, et la question est à moitié faite.

Contraposée et réciproque

Deux énoncés se construisent à partir de $P \Rightarrow Q$, et il est capital de ne pas les confondre : l'un est équivalent à l'implication de départ, l'autre non.

La contraposée est un outil de travail, pas une curiosité. Prenons : « si $n^2$ est pair alors $n$ est pair ». Attaquée de front, elle est pénible — de $n^2 = 2k$, on ne tire pas grand-chose sur $n$. Sa contraposée, elle, tombe toute seule : si $n$ est impair, alors $n = 2k+1$, donc $n^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2+2k) + 1$ est impair. Démontrée la contraposée, l'implication de départ est démontrée. C'est le même énoncé.

La réciproque, en revanche, est un énoncé différent, qui peut être faux quand l'implication est vraie : « si $x = 2$ alors $x^2 = 4$ » est vraie, sa réciproque ne l'est pas — il y a $x = -2$.

Quantificateurs, et leur négation

Deux symboles transforment un prédicat en proposition. $\forall$ (« pour tout ») et $\exists$ (« il existe au moins un »).

Leur ordre n'est pas commutatif, et c'est une source constante de faux raisonnements. Comparez :

La première est vraie — pour chaque $x$, on prend $y = x+1$, et ce $y$ dépend de $x$. La seconde affirme l'existence d'un réel plus grand que tous les autres : elle est fausse. Mêmes symboles, ordre inversé, vérité inversée.

La négation obéit à une règle mécanique : on échange les quantificateurs et on nie la conclusion.

Nier « toutes les fonctions de la famille sont croissantes » ne donne pas « toutes sont décroissantes », mais « il en existe une qui n'est pas croissante ». Cette règle est ce qui rend le raisonnement par l'absurde et le contre-exemple utilisables.

Le raisonnement par l'absurde

Pour démontrer $Q$, on suppose $\lnot Q$ et on en déduit une contradiction — un énoncé et son contraire, ou un fait manifestement faux. Puisque $\lnot Q$ mène à l'impossible, $\lnot Q$ est fausse, donc $Q$ est vraie.

Le modèle du genre : $\sqrt{2}$ est irrationnel. Supposons le contraire : $\sqrt{2} = \dfrac{p}{q}$ avec $p$ et $q$ entiers, la fraction étant irréductible. Alors $p^2 = 2q^2$, donc $p^2$ est pair, donc $p$ est pair — c'est exactement le résultat démontré plus haut par contraposée. Écrivons $p = 2k$ : il vient $4k^2 = 2q^2$, soit $q^2 = 2k^2$, donc $q$ est pair lui aussi. Mais $p$ et $q$ pairs contredit l'irréductibilité de la fraction. L'hypothèse était donc fausse.

Le point de méthode à retenir : l'absurde exige d'écrire la négation avec soin avant de commencer. C'est là que les copies se perdent, pas dans le calcul qui suit.

Le contre-exemple

Pour réfuter « $\forall x,\ P(x)$ », un seul $x$ qui échoue suffit — c'est la règle de négation appliquée. Aucun calcul général n'est demandé, aucune théorie : un exemple bien choisi, et l'énoncé est mort.

La réciproque de cette règle est l'erreur que les correcteurs sanctionnent le plus : un exemple, ou dix, ne démontrent jamais un « pour tout ». La proposition « $n^2 + n + 41$ est premier pour tout entier $n$ » se vérifie pour $n = 0, 1, 2, \ldots, 39$ — quarante cas d'affilée — et tombe en $n = 40$, où l'expression vaut $41^2$.

La démonstration par récurrence

C'est le mode de raisonnement le plus demandé de l'épreuve, et celui dont la rédaction est la plus codifiée. Il démontre une propriété $P(n)$ pour tous les entiers à partir d'un rang, en deux vérifications finies.

Faites défiler l'animation, ou cliquez une étape pour y sauter. La dernière étape montre l'erreur qui coûte le plus de points.

La rédaction attendue tient en trois temps, et il faut les écrire tous les trois.

Initialisation. On vérifie $P(n_0)$ au premier rang, par le calcul. Une ligne suffit, mais elle est obligatoire : sans elle, l'hérédité ne démontre rien.

Hérédité. On suppose $P(k)$ vraie pour un entier $k \geqslant n_0$ quelconque mais fixé — c'est l'hypothèse de récurrence — et on démontre $P(k+1)$. On ne suppose pas ce qu'on veut démontrer : on suppose le rang $k$, on établit le rang $k+1$.

Conclusion. On invoque le principe de récurrence : $P(n)$ est vraie pour tout $n \geqslant n_0$.

Sur l'exemple de l'animation, avec $S_n = 1 + 2 + \cdots + n$ et $P(n) : S_n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ :

et c'est bien $P(k+1)$. La seule étape où l'on a le droit d'utiliser $P(k)$ est la première égalité : elle doit être signalée, sinon la démonstration est circulaire.

Choisir sa méthode

Devant une question, le mode de démonstration se lit souvent dans la forme de l'énoncé.

À vous

// Une implication P ⇒ Q n'est FAUSSE que dans un seul cas.
// Écrivez-la, puis écrivez sa contraposée ¬Q ⇒ ¬P.

const implique = (p, q) => true;       // à corriger
const contraposee = (p, q) => true;    // à corriger, en réutilisant implique

// Les quatre cas possibles, dans l'ordre du cours.
console.log("P      Q      P⇒Q    ¬Q⇒¬P");
for (const p of [true, false]) {
  for (const q of [true, false]) {
    console.log(String(p).padEnd(6), String(q).padEnd(6),
                String(implique(p, q)).padEnd(6), contraposee(p, q));
  }
}
// attendu : les deux dernières colonnes identiques,
// et false uniquement à la ligne P = true, Q = false.

// P ⇒ Q se lit « P ne peut pas être vraie sans Q » :
// elle n'est fausse que si P est vraie et Q fausse.
const implique = (p, q) => !p || q;

// La contraposée n'est pas une nouvelle définition : c'est la même
// implication, appliquée aux négations et lue dans l'autre sens.
const contraposee = (p, q) => implique(!q, !p);

console.log("P      Q      P⇒Q    ¬Q⇒¬P");
for (const p of [true, false]) {
  for (const q of [true, false]) {
    console.log(String(p).padEnd(6), String(q).padEnd(6),
                String(implique(p, q)).padEnd(6), contraposee(p, q));
  }
}
// Les colonnes coïncident sur les quatre lignes : c'est exactement ce que
// veut dire « une implication et sa contraposée sont équivalentes ».
// Démontrer l'une, c'est démontrer l'autre — et on choisit la plus facile.

À retenir