Suites numériques

Une suite est une fonction dont la variable est un entier. Cette phrase n'a l'air de rien, et elle contient tout : les questions qu'on pose aux suites sont celles qu'on pose aux fonctions — sens de variation, bornes, comportement à l'infini — avec un avantage décisif, la possibilité de raisonner de proche en proche.

Deux façons de définir une suite

La différence n'est pas cosmétique : elle décide de la méthode pour tout le reste du problème.

Forme explicite. $u_n$ s'exprime directement en fonction de $n$ : $u_n = 3n^2 - 5$. On calcule $u_{100}$ sans connaître $u_{99}$. Les variations s'étudient comme celles d'une fonction.

Forme récurrente. $u_{n+1}$ s'exprime en fonction de $u_n$ : $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = 0{,}5\,u_n + 3$. On ne peut pas atteindre $u_{100}$ sans passer par les 99 précédents. Toute propriété valable pour tout $n$ se démontre alors par récurrence — il n'y a pas d'alternative.

Le raisonnement par récurrence

C'est l'outil central du chapitre, et il vient d'être installé au bloc I. On le rappelle ici dans son usage propre aux suites : établir qu'une propriété — une majoration, une monotonie, une formule explicite — vaut à tous les rangs.

Sur une suite récurrente, l'hérédité consiste presque toujours à partir de l'hypothèse et appliquer la relation de récurrence. Si l'on suppose $u_k \leqslant 3$ et que $u_{n+1} = f(u_n)$ avec $f$ croissante, alors $u_{k+1} = f(u_k) \leqslant f(3)$, et il reste à vérifier que $f(3) \leqslant 3$. La croissance de $f$ est ce qui autorise le passage à l'inégalité : sans elle, le raisonnement tombe.

Sens de variation

Trois méthodes, à choisir selon la forme de la suite.

Le signe de $u_{n+1} - u_n$. La méthode par défaut. Si la différence est positive pour tout $n$, la suite croît.

Le quotient $u_{n+1}/u_n$, comparé à 1. Réservé aux suites strictement positives — sans cette hypothèse, comparer un quotient à 1 n'a aucun sens, et c'est une faute fréquente.

L'étude d'une fonction. Si $u_n = f(n)$ sous forme explicite, le sens de variation de $f$ sur $[0;+\infty[$ donne celui de la suite. Attention : la réciproque est fausse, une suite peut croître sans que $f$ soit monotone entre les entiers.

Une suite peut aussi n'être ni croissante ni décroissante : $u_n = (-1)^n$ n'a pas de sens de variation, et le dire est une réponse valable.

Suites arithmétiques et géométriques

Ce sont les deux modèles à reconnaître d'un coup d'œil, car tout y est calculable.

La somme arithmétique se retient par sa forme : nombre de termes multiplié par la moyenne des extrêmes. La somme géométrique, elle, se retient par « premier terme $\times$ $(1 - \text{raison}^{\text{nombre de termes}}) / (1 - \text{raison})$ ».

Le comportement à l'infini de $q^n$ décide de tout le reste :

Suites majorées, minorées, bornées

$(u_n)$ est majorée s'il existe un réel $M$ tel que $u_n \leqslant M$ pour tout $n$. Minorée de même, avec une inégalité inversée. Bornée signifie les deux.

Le mot important est existe : on n'a pas à trouver le plus petit majorant, seulement à en exhiber un. Dans une copie, produire un majorant et le justifier suffit.

Convergence

$(u_n)$ converge vers $\ell$ si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. Une suite qui ne converge pas diverge — soit vers $\pm\infty$, soit sans limite du tout, comme $(-1)^n$.

Deux théorèmes portent l'essentiel des exercices.

Convergence monotone. Toute suite croissante et majorée converge. Toute suite décroissante et minorée converge.

C'est le théorème le plus utile du chapitre, et le plus mal cité. Il affirme l'existence d'une limite, il ne la donne pas. Une suite croissante majorée par 10 peut très bien converger vers 6. Écrire « donc elle converge vers 10 » est faux.

Théorème des gendarmes. Si $v_n \leqslant u_n \leqslant w_n$ à partir d'un certain rang et si $(v_n)$ et $(w_n)$ convergent vers la même limite $\ell$, alors $(u_n)$ converge vers $\ell$. La condition « même limite » n'est pas négociable.

Un corollaire s'emploie constamment : si $|u_n - \ell| \leqslant v_n$ avec $v_n \to 0$, alors $u_n \to \ell$. C'est la forme sous laquelle on conclut la plupart des exercices de convergence.

Suites récurrentes : la méthode complète

Pour $u_{n+1} = f(u_n)$, l'exercice suit presque toujours le même déroulé.

1. Conjecturer en calculant quelques termes : la suite semble croissante, majorée par 6.
2. Démontrer la majoration par récurrence.
3. Démontrer la monotonie, par récurrence ou par le signe de $u_{n+1} - u_n$.
4. Conclure à l'existence de la limite par convergence monotone.
5. Calculer cette limite : elle vérifie $\ell = f(\ell)$, l'équation du point fixe.

L'étape 5 mérite une précaution : $\ell = f(\ell)$ ne vaut que si $f$ est continue en $\ell$, ce qui est le cas de toutes les fonctions du programme mais doit être mentionné. Et l'équation peut avoir plusieurs solutions : on tranche avec les bornes obtenues à l'étape 2.

Une variante fréquente évite tout cela : montrer que $v_n = u_n - \ell$ est géométrique. On obtient alors la forme explicite, donc la limite, sans invoquer aucun théorème d'existence.

À vous

// Une suite définie par récurrence ne se devine pas : on la calcule.
// u(0) = 1 et u(n+1) = 0.5 * u(n) + 3.

function termes(n) {
  const u = [1];
  for (let k = 0; k < n; k++) {
    u.push(0); // à corriger : appliquer la relation de récurrence
  }
  return u;
}

const suite = termes(12);
console.log(suite.map((x) => x.toFixed(4)).join(" "));

// 1. La suite semble-t-elle croissante ? majorée ?
// 2. Le point fixe L vérifie L = 0.5*L + 3. Que vaut-il ?
const pointFixe = 0; // à corriger
console.log("point fixe :", pointFixe);

// 3. La différence u(n) - L doit être géométrique de raison 0.5.
console.log(suite.map((x) => (x - pointFixe).toExponential(2)).join(" "));

function termes(n) {
  const u = [1];
  for (let k = 0; k < n; k++) {
    u.push(0.5 * u[k] + 3);
  }
  return u;
}

const suite = termes(12);
console.log(suite.map((x) => x.toFixed(4)).join(" "));

// L = 0.5L + 3  ⇔  0.5L = 3  ⇔  L = 6.
const pointFixe = 6;
console.log("point fixe :", pointFixe);

// v(n) = u(n) − 6 est géométrique de raison 0.5 : chaque terme est la moitié
// du précédent, et tend donc vers 0. C'est la démonstration de la convergence
// vers 6, écrite en trois lignes plutôt qu'observée sur un tableau.
console.log(suite.map((x) => (x - pointFixe).toExponential(2)).join(" "));

À retenir