Fonction logarithme népérien

Le logarithme népérien est né d'un besoin de calcul : transformer les produits en sommes. Cette propriété unique — $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ — est à la fois sa définition opératoire, sa raison d'être historique, et la source de tous les exercices du chapitre.

Définition

La fonction $x \mapsto 1/x$ est continue sur $]0;+\infty[$ : elle y admet des primitives. On appelle logarithme népérien l'unique primitive qui s'annule en 1.

Deux conséquences immédiates, à ne jamais perdre de vue. Le logarithme n'est défini que pour $x > 0$ : écrire $\ln$ d'une quantité négative ou nulle est une faute, pas une approximation. Et sa dérivée $1/x$ est strictement positive, donc $\ln$ est strictement croissante sur son domaine.

Propriétés algébriques

Toutes découlent de la première, elle-même conséquence de la dérivée. Toutes exigent $a > 0$ et $b > 0$.

L'usage est mécanique : le logarithme abaisse les exposants. Une équation où l'inconnue est en exposant se résout en composant par $\ln$, et c'est la seule technique disponible.

d'où $n \geqslant 10$ — le résultat rencontré à la leçon de complexité, cette fois démontré.

Limites et croissance

La première donne une asymptote verticale d'équation $x = 0$. La seconde est à nuancer : $\ln$ tend vers l'infini, mais très lentement. Il faut $x \approx 22\,000$ pour que $\ln x$ atteigne 10.

Cette lenteur est formalisée par les croissances comparées :

Elles se lisent d'une seule phrase : face à une puissance, le logarithme perd toujours. En $+\infty$ le quotient tend vers 0 parce que le dénominateur l'emporte ; en $0^+$ le produit tend vers 0 parce que $x$ écrase le $-\infty$ du logarithme.

Ces trois limites lèvent des indéterminations $\infty/\infty$ et $0 \times \infty$ que rien d'autre ne lève. Les citer nommément est attendu en copie.

Une dernière limite, moins spectaculaire mais aussi utile :

C'est le nombre dérivé de $\ln(1+x)$ en 0 — un taux d'accroissement déguisé, comme souvent.

Dérivées composées

sur tout intervalle où $u > 0$. Cette formule sert dans les deux sens, et c'est le second qui compte le plus : reconnaître une forme $u'/u$ donne une primitive en $\ln$. Le chapitre sur les intégrales en dépend entièrement.

Résoudre équations et inéquations

La méthode tient en trois temps, et l'ordre n'est pas négociable.

1. Écrire le domaine, en imposant que chaque expression sous un $\ln$ soit strictement positive. Cette étape se fait avant tout calcul.
2. Résoudre, en utilisant la stricte croissance : $\ln A = \ln B \iff A = B$, et $\ln A < \ln B \iff A < B$, l'inégalité conservant son sens.
3. Confronter au domaine, et écarter les solutions qui n'y appartiennent pas.

L'étape 3 n'est pas une formalité de rédaction. Passer à l'exponentielle élargit le domaine : le trinôme obtenu a des racines dont certaines ne sont pas solutions de l'équation initiale. Les garder est une faute de fond.

Logarithme décimal

$\log x = \ln x / \ln 10$. Il vérifie les mêmes propriétés et $\log 10^n = n$, ce qui en fait l'outil des ordres de grandeur — pH, décibels, échelles sismiques. Au programme, il n'apporte rien de nouveau : tout ce qui vaut pour $\ln$ vaut pour lui.

À vous

// Résoudre ln(x) + ln(x − 3) = ln(4).
// Le piège n'est pas le calcul : c'est le domaine.

// 1. Le domaine impose x > 0 ET x − 3 > 0.
const domaine = (x) => false; // à corriger

// 2. L'équation se ramène à x(x − 3) = 4, soit x² − 3x − 4 = 0.
function racines() {
  const [a, b, c] = [1, -3, -4];
  const d = b * b - 4 * a * c;
  return [(-b - Math.sqrt(d)) / (2 * a), (-b + Math.sqrt(d)) / (2 * a)];
}

const candidates = racines();
console.log("candidates :", candidates);
console.log("solutions  :", candidates.filter(domaine));

// 3. Vérification directe sur les solutions retenues.
for (const x of candidates.filter(domaine)) {
  console.log(x, "→", Math.log(x) + Math.log(x - 3), "vs", Math.log(4));
}

// Le domaine se lit AVANT de résoudre : les deux logarithmes doivent exister.
const domaine = (x) => x > 0 && x - 3 > 0;

function racines() {
  const [a, b, c] = [1, -3, -4];
  const d = b * b - 4 * a * c;
  return [(-b - Math.sqrt(d)) / (2 * a), (-b + Math.sqrt(d)) / (2 * a)];
}

const candidates = racines();
console.log("candidates :", candidates); // [-1, 4]
console.log("solutions  :", candidates.filter(domaine)); // [4]

// −1 est racine du trinôme et n'est PAS solution de l'équation : ln(−1)
// n'existe pas. Passer à l'exponentielle élargit le domaine, il faut donc
// systématiquement revenir le vérifier.
for (const x of candidates.filter(domaine)) {
  console.log(x, "→", Math.log(x) + Math.log(x - 3), "vs", Math.log(4));
}

À retenir