Mathématiques · C2 Analyse · Chapitre 5 · 8 h

Exponentielles et puissances

Exploiter la réciprocité avec le logarithme, les croissances comparées, les fonctions a^x et x^α.

L'exponentielle est la fonction qui est sa propre dérivée. Cette phrase la définit entièrement, et explique pourquoi elle apparaît partout où une grandeur varie proportionnellement à elle-même : intérêts composés, désintégration radioactive, refroidissement, croissance de population.

Définition

$\ln$ est continue et strictement croissante de $]0;+\infty[$ sur $\mathbb{R}$ : c'est donc une bijection. Sa réciproque est la fonction exponentielle.

\exp : \; \mathbb{R} \; \longrightarrow \; ]0;+\infty[

De cette construction découle tout le reste, sans rien à mémoriser de neuf :

y = e^x \iff x = \ln y \;\; (y > 0) \qquad \ln(e^x) = x \;\; \forall x \in \mathbb{R} \qquad e^{\ln y} = y \;\; \forall y > 0

Trois faits en découlent, à traiter comme des réflexes. L'exponentielle est définie sur $\mathbb{R}$ tout entier — contrairement au logarithme. Elle est strictement positive : $e^x > 0$ pour tout $x$ , ce qui permet de diviser par $e^x$ sans précaution et de conclure sur le signe d'un produit. Et $e^0 = 1$ .

Propriétés algébriques

e^{a+b} = e^a e^b \qquad e^{-a} = \frac{1}{e^a} \qquad e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b} \qquad \left(e^a\right)^n = e^{na}

Ce sont les propriétés du logarithme lues à l'envers : l'exponentielle transforme les sommes en produits. Elles valent pour tous réels, sans condition de domaine — la différence pratique avec $\ln$ est là, et elle allège considérablement les calculs.

Dérivée et variations

\left(e^x\right)' = e^x \qquad \left(e^u\right)' = u'\,e^u

Comme $e^x > 0$ , la dérivée est strictement positive : $\exp$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ . Et le signe de $\left(e^u\right)'$ est celui de $u'$ seul, puisque $e^u$ ne change jamais de signe — remarque qui simplifie la moitié des études de fonctions du programme.

Limites

\lim_{x \to -\infty} e^x = 0 \qquad \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty

La première donne une asymptote horizontale d'équation $y = 0$ en $-\infty$ . La courbe s'en approche sans jamais l'atteindre, ce que traduit la stricte positivité.

Les croissances comparées sont le pendant exact de celles du logarithme :

\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty \qquad \lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0 \qquad \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1

Une phrase les résume : l'exponentielle l'emporte sur toute puissance. En $+\infty$ elle écrase le dénominateur ; en $-\infty$ elle écrase le facteur polynomial, aussi grand que soit son degré. La troisième limite est le nombre dérivé de $e^x$ en 0.

Quiz · 1 question

Que vaut la limite de x³·e^x quand x tend vers −∞ ?

−∞, car x³ tend vers −∞ — la puissance gagne
0, car l'exponentielle l'emporte — l'exponentielle gagne
Elle n'existe pas — indéterminée

Réponse : En −∞, e^x tend vers 0 « plus vite » que x³ ne tend vers −∞ : le produit tend vers 0. C'est la croissance comparée, et elle vaut pour n'importe quel degré — x^100 · e^x tend encore vers 0.

Équations et inéquations

La stricte croissance donne les équivalences de résolution :

e^A = e^B \iff A = B \qquad e^A < e^B \iff A < B

et le passage d'une forme à l'autre :

e^A = k \iff A = \ln k \quad (k > 0)

La condition $k > 0$ est celle qui décide. $e^A = -2$ n'a aucune solution, et le constater est la réponse complète : inutile de calculer. Une équation exponentielle sans solution est un cas d'énoncé courant.

Les équations qui se ramènent à un trinôme forment l'autre cas type. Devant $e^{2x} - 3e^x + 2 = 0$ , on pose $X = e^x$ : le trinôme $X^2 - 3X + 2$ a pour racines 1 et 2, d'où $x = 0$ ou $x = \ln 2$ . Le changement de variable impose $X > 0$ — une racine négative se rejette sans discussion.

Quiz · 1 question

Combien de solutions a l'équation e^(2x) + e^x − 6 = 0 ?

Deux, les racines du trinôme X² + X − 6 — deux racines
Une seule : X = 2 convient, X = −3 est rejetée — positivité
Aucune — aucune

Réponse : Le trinôme a pour racines 2 et −3, mais X = e^x est strictement positif : seule X = 2 est recevable, d'où x = ln 2. Reporter une racine négative dans e^x = X est la faute que le changement de variable rend facile.

Fonctions puissances

Pour $a > 0$ , on pose $a^x = e^{x \ln a}$ . Cette définition étend les puissances à tout exposant réel, et son sens de variation ne dépend que du signe de $\ln a$ : croissante si $a > 1$ , décroissante si $0 < a < 1$ , constante si $a = 1$ .

C'est la formule qui rend calculable $2^{\sqrt{2}}$ , et celle qui relie la fonction exponentielle aux suites géométriques : $q^n = e^{n \ln q}$ éclaire d'un coup pourquoi $q^n$ tend vers 0 quand $q < 1$ — l'exposant $n \ln q$ tend alors vers $-\infty$ .

Ce qu'une limite ne dit pas

Exercice de code

Cherchez à partir de quel entier e^x dépasse x^10, et concluez sur ce qu'une limite affirme vraiment.

Point de départ

// « L'exponentielle l'emporte sur toute puissance » : à quel prix ?
// On cherche à partir de quel x on a e^x > x^10.

const f = (x) => Math.exp(x);
const g = (x) => x ** 10;

// 1. Comparer sur quelques valeurs. Qui domine au début ?
for (const x of [2, 5, 10, 20, 35, 50]) {
  console.log("x =", x, " e^x =", f(x).toExponential(2), " x^10 =", g(x).toExponential(2));
}

// 2. Trouver le seuil : le plus petit entier x tel que e^x dépasse x^10.
function seuil() {
  let x = 1;
  // à compléter : avancer tant que e^x reste inférieur ou égal à x^10
  return x;
}

console.log("seuil :", seuil());

Solution

const f = (x) => Math.exp(x);
const g = (x) => x ** 10;

for (const x of [2, 5, 10, 20, 35, 50]) {
  console.log("x =", x, " e^x =", f(x).toExponential(2), " x^10 =", g(x).toExponential(2));
}

function seuil() {
  let x = 1;
  while (f(x) <= g(x)) x++;
  return x;
}

console.log("seuil :", seuil()); // 36

// Jusqu'à x = 35, la puissance écrase l'exponentielle — de plusieurs ordres
// de grandeur. Le théorème n'en est pas faux pour autant : il porte sur le
// comportement À L'INFINI, pas sur les petites valeurs. Une limite ne dit
// jamais à partir de quand.

À retenir

Flashcards · 5 cartes

Comment l'exponentielle est-elle définie ?: Comme la réciproque du logarithme népérien. Tout le reste — propriétés, limites, dérivée — s'en déduit sans rien de neuf à mémoriser.
Quelle propriété de e^x simplifie les études de signe ?: e^x > 0 pour tout x. Le signe de (e^u)' = u'·e^u est donc celui de u' seul, et on peut diviser par e^x sans précaution.
Que disent les croissances comparées de l'exponentielle ?: Elle l'emporte sur toute puissance : e^x/x^n → +∞ en +∞, et x^n·e^x → 0 en −∞, quel que soit n.
Que faire devant e^(2x) − 3e^x + 2 = 0 ?: Poser X = e^x avec la contrainte X > 0, résoudre le trinôme, puis rejeter les racines négatives avant de revenir à x.
e^A = k : quand y a-t-il une solution ?: Seulement si k > 0, et alors A = ln k. Pour k ≤ 0 l'équation n'a aucune solution, et le dire suffit.