Mathématiques · C2 Analyse · Chapitre 6 · 11 h

Primitives et calcul intégral

Primitives usuelles, intégration par parties, changement de variable, aires, volumes, valeur moyenne.

Dériver, c'est descendre ; intégrer, c'est remonter. Le chapitre repose entièrement sur ce renversement, et sur le théorème qui le rend calculable : une aire sous une courbe se détermine sans découper la moindre bande, pourvu qu'on sache reconnaître une primitive.

Primitives

$F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ si $F' = f$ sur $I$ .

Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante — c'est immédiat, leur différence a une dérivée nulle sur un intervalle. Il n'y a donc jamais « la » primitive, mais une famille $F + C$ , et une condition initiale la détermine.

$f(x)$	Une primitive $F(x)$
$x^n$ , $n \neq -1$	$x^{n+1}/(n+1)$
$1/x$	$\ln\lvert x \rvert$
$e^x$	$e^x$
$\cos x$	$\sin x$
$\sin x$	$-\cos x$
$1/\sqrt{x}$	$2\sqrt{x}$

Les formes composées sont celles qu'on doit reconnaître, car c'est ainsi qu'un énoncé les présente :

u'u^n \to \frac{u^{n+1}}{n+1} \qquad \frac{u'}{u} \to \ln\lvert u \rvert \qquad u'e^{u} \to e^{u} \qquad \frac{u'}{2\sqrt{u}} \to \sqrt{u}

L'exercice consiste presque toujours à faire apparaître le facteur $u'$ manquant, quitte à multiplier et diviser par une constante. Devant $x\,e^{x^2}$ , on écrit $\tfrac{1}{2} \times 2x\,e^{x^2}$ et la primitive est $\tfrac{1}{2}e^{x^2}$ .

La valeur absolue dans $\ln\lvert u \rvert$ n'est pas un ornement : sans elle, la primitive de $1/x$ serait fausse sur $]-\infty;0[$ .

L'intégrale

Pour $f$ continue sur $[a;b]$ et $F$ une primitive de $f$ :

\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a)

Le résultat ne dépend pas de la primitive choisie, la constante s'éliminant dans la soustraction. C'est le théorème fondamental : le calcul d'aire se ramène à deux évaluations.

Quand $f \geqslant 0$ sur $[a;b]$ , l'intégrale est l'aire du domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites $x = a$ et $x = b$ , en unités d'aire. Si $f$ change de signe, l'intégrale compte négativement les parties sous l'axe : une intégrale nulle ne signifie pas une aire nulle.

Animation · 6 étapes

Comment le coût grandit avec la taille des données

O(1) — lire T[i] — Une opération, quelle que soit la taille des données. La courbe est plate : doubler n ne coûte rien de plus.
O(log n) — recherche dichotomique — Chaque doublement de n n'ajoute qu'une seule opération. C'est presque aussi bon que constant.
O(n) — recherche séquentielle — Le coût suit la taille : deux fois plus de données, deux fois plus de travail. Une droite.
O(n log n) — tris efficaces — À peine plus cher que linéaire, et c'est le meilleur coût possible pour un tri par comparaisons.
O(n²) — tri par sélection — La courbe quitte le cadre avant n = 20. C'est la classe qu'on cherche à éviter dès que n grandit.
Comparaison finale — Sur de petites données toutes ces courbes se valent. C'est en grandissant que l'écart devient décisif : le classement importe plus que le détail des opérations.

Cette animation, empruntée au cours d'algorithmique, montre des vitesses de croissance comparées. On la relit ici autrement : sous chacune de ces courbes, l'aire accumulée depuis 0 est précisément l'intégrale de la fonction, et c'est elle que la primitive calcule d'un trait.

Quiz · 1 question

L'intégrale de sin(x) entre 0 et 2π vaut 0. Quelle est l'aire entre la courbe et l'axe ?

0, puisque l'intégrale est nulle — aire = intégrale
4 : les deux arches ont des aires égales, comptées avec des signes opposés — signes opposés
2π, la longueur de l'intervalle — largeur

Réponse : Chaque arche a une aire de 2 ; celle du dessous est comptée −2. L'intégrale vaut 0, l'aire vaut 4. Confondre les deux est l'erreur qui rend faux tout calcul d'aire d'une fonction changeant de signe : il faut découper aux racines.

Propriétés

\int_a^b f = -\int_b^a f \qquad \int_a^c f = \int_a^b f + \int_b^c f \qquad \int_a^b (\alpha f + \beta g) = \alpha\int_a^b f + \beta\int_a^b g

La deuxième est la relation de Chasles : elle sert à découper aux points où $f$ change de signe, ou aux points de raccord d'une fonction définie par morceaux.

Positivité et croissance. Si $f \geqslant 0$ sur $[a;b]$ avec $a \leqslant b$ , alors $\int_a^b f \geqslant 0$ . Et si $f \leqslant g$ , alors $\int_a^b f \leqslant \int_a^b g$ . L'inégalité se conserve — à condition que les bornes soient dans l'ordre, faute de quoi elle s'inverse.

Cette croissance est ce qui permet d'encadrer une intégrale qu'on ne sait pas calculer : on encadre la fonction, on intègre, et l'encadrement suit.

Valeur moyenne de $f$ sur $[a;b]$ :

\mu = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x

C'est la hauteur du rectangle de base $[a;b]$ ayant la même aire que le domaine sous la courbe.

Intégration par parties

\int_a^b u'v = \Big[uv\Big]_a^b - \int_a^b uv'

Elle transforme une intégrale en une autre. Le choix de $u'$ et de $v$ décide de tout : $v$ doit devenir plus simple en dérivant. Un polynôme perd un degré, un logarithme devient une fraction rationnelle — ce sont les deux cas du programme.

Pour $\int x e^x\,\mathrm{d}x$ : on pose $v = x$ et $u' = e^x$ . La nouvelle intégrale $\int e^x$ est immédiate. Le choix inverse aurait donné $\int \tfrac{x^2}{2}e^x$ , pire que l'originale — le signe qu'on s'est trompé de répartition.

Quiz · 1 question

Pour calculer l'intégrale de x·ln(x), que choisit-on comme fonction v à dériver ?

v = x, car c'est le plus simple — le polynôme
v = ln(x), car sa dérivée 1/x est une fraction rationnelle — le logarithme
Peu importe, les deux marchent — indifférent

Réponse : Il n'existe pas de primitive simple de ln(x) à ce stade : on ne peut pas le prendre comme u'. En le dérivant on obtient 1/x, et l'intégrale restante devient polynomiale. Devant un logarithme, c'est toujours lui qu'on dérive.

Aires et volumes

Aire entre deux courbes. Si $f \geqslant g$ sur $[a;b]$ , l'aire du domaine compris entre les deux courbes vaut $\int_a^b (f - g)$ . On détermine d'abord les abscisses d'intersection, puis le signe de $f - g$ sur chaque morceau.

Volume de révolution. Le solide engendré par la rotation de la courbe de $f$ autour de l'axe des abscisses a pour volume

V = \pi \int_a^b f(x)^2\,\mathrm{d}x

Le carré vient de l'aire du disque de rayon $f(x)$ ; l'intégrale empile ces disques. Oublier le $\pi$ ou le carré donne un résultat homogène à autre chose qu'un volume, ce qui se détecte sans calcul.

Ce que la somme de Riemann apprend

Exercice de code

Approchez l'intégrale de x² sur [0 ; 1] par des rectangles, et observez la vitesse de convergence.

Point de départ

// L'intégrale est une limite d'aires de rectangles. On le vérifie.
// ∫ de 0 à 1 de x² vaut exactement 1/3.

const f = (x) => x * x;

// Somme des aires de n rectangles de largeur 1/n, hauteur prise à droite.
function rectangles(n) {
  let somme = 0;
  for (let k = 1; k <= n; k++) {
    // à compléter : ajouter l'aire du k-ième rectangle
  }
  return somme;
}

for (const n of [4, 10, 100, 10000, 1000000]) {
  console.log("n =", n, " somme =", rectangles(n).toFixed(8));
}
console.log("valeur exacte :", (1 / 3).toFixed(8));

Solution

const f = (x) => x * x;

function rectangles(n) {
  let somme = 0;
  for (let k = 1; k <= n; k++) {
    // Largeur 1/n, hauteur f(k/n).
    somme += (1 / n) * f(k / n);
  }
  return somme;
}

for (const n of [4, 10, 100, 10000, 1000000]) {
  console.log("n =", n, " somme =", rectangles(n).toFixed(8));
}
console.log("valeur exacte :", (1 / 3).toFixed(8));

// La convergence est LENTE : il faut un million de rectangles pour six
// décimales. C'est pourquoi on ne calcule jamais une intégrale ainsi — on
// cherche une primitive. La somme de Riemann définit l'intégrale, elle ne
// la calcule pas.

À retenir

Flashcards · 5 cartes

Que dit le théorème fondamental de l'analyse ?: L'intégrale de a à b de f vaut F(b) − F(a) pour n'importe quelle primitive F. La constante disparaît dans la soustraction.
Intégrale nulle : l'aire est-elle nulle ?: Non. Les parties sous l'axe comptent négativement. Pour une aire, on découpe aux racines et on prend les valeurs absolues.
Quelles formes composées faut-il reconnaître pour primitiver ?: u'u^n, u'/u, u'e^u, u'/(2√u). L'exercice consiste à faire apparaître le facteur u' manquant, quitte à ajuster par une constante.
Dans une intégration par parties, comment choisir v ?: Celle qui se simplifie en dérivant : un polynôme perd un degré, un logarithme devient 1/x. Devant un ln, c'est toujours lui qu'on dérive.
Volume engendré par rotation autour de l'axe des abscisses ?: π fois l'intégrale de f(x)² : chaque tranche est un disque de rayon f(x), et l'intégrale les empile.