Équations différentielles

Une équation différentielle relie une fonction inconnue à ses dérivées. Elle ne décrit pas une grandeur, elle décrit la loi qui la fait varier — et c'est sous cette forme que la physique énonce presque tout : la vitesse de désintégration est proportionnelle à la quantité restante, l'accélération d'un ressort est opposée à son allongement.

Résoudre, c'est retrouver la grandeur à partir de sa loi de variation.

$y' = ay$

L'équation fondamentale. Ses solutions sur $\mathbb{R}$ sont exactement les fonctions

La vérification est immédiate. La réciproque — qu'il n'y en a pas d'autres — se démontre en posant $z(x) = y(x)e^{-ax}$ et en constatant que $z' = 0$, donc $z$ constante sur $\mathbb{R}$. Cette démonstration est courte et tombe régulièrement.

L'ensemble des solutions est une famille : une équation différentielle du premier ordre a une infinité de solutions, paramétrées par une constante. Pour en isoler une, il faut une condition initiale.

Le signe de $a$ décide du comportement : croissance explosive si $a > 0$, décroissance vers 0 si $a < 0$. C'est la même dichotomie que pour $q^n$ chez les suites géométriques, et pour la même raison — $e^{ax}$ est une suite géométrique à variable continue.

$y' = ay + b$

On se ramène au cas précédent en cherchant la solution constante, dite particulière. Si $y$ est constante, $y' = 0$, donc $ay + b = 0$, donc $y = -b/a$ — sous réserve que $a \neq 0$.

Les solutions générales sont alors

La structure mérite d'être vue pour elle-même : solution générale de l'équation sans second membre, plus une solution particulière. C'est le schéma de toute la théorie des équations linéaires, et il resservira bien au-delà du programme.

Quand $a < 0$, le terme $Ce^{ax}$ s'efface et $y$ tend vers $-b/a$ : c'est le régime permanent, la valeur d'équilibre. Le terme exponentiel est le régime transitoire, celui qui garde la mémoire de la condition initiale et finit par l'oublier.

$y'' + \omega^2 y = 0$

L'équation de l'oscillateur. Ses solutions sont

Deux constantes cette fois : une équation du second ordre exige deux conditions — typiquement $y(0)$ et $y'(0)$, la position et la vitesse initiales.

La forme équivalente $y(x) = R\cos(\omega x + \varphi)$ met en évidence les grandeurs physiques : $R = \sqrt{A^2 + B^2}$ est l'amplitude, $\varphi$ la phase, et $T = 2\pi/\omega$ la période. Passer d'une écriture à l'autre est une question d'énoncé fréquente.

Le signe compte : $y'' - \omega^2 y = 0$ a pour solutions $Ae^{\omega x} + Be^{-\omega x}$, qui divergent. Un ressort oscille, une instabilité explose — la différence tient à un signe.

La méthode d'un exercice

1. Identifier la forme : $y' = ay$, $y' = ay + b$, ou $y'' + \omega^2 y = 0$.
2. Écrire la famille de solutions, avec sa ou ses constantes.
3. Appliquer les conditions initiales pour les déterminer.
4. Interpréter : limite, équilibre, période, demi-vie selon le contexte.

L'étape 4 est celle que les énoncés de sciences attendent vraiment. Une équation différentielle y arrive toujours habillée : « la vitesse de refroidissement est proportionnelle à l'écart de température » se traduit par $\theta' = -k(\theta - \theta_{\text{ambiante}})$, qui est un $y' = ay + b$ déguisé.

À vous

// N'(t) = −λ N(t) : la solution est N(t) = N0 · e^(−λt).
// On la confronte à une simulation pas à pas, puis on en tire la demi-vie.

const N0 = 1000;
const LAMBDA = 0.05; // par jour

// 1. Solution exacte.
const exacte = (t) => 0; // à corriger

// 2. Simulation d'Euler : sur un petit pas h, N diminue de λ·N·h.
function euler(t, h) {
  let n = N0;
  for (let x = 0; x < t; x += h) {
    n = n; // à corriger
  }
  return n;
}

for (const h of [1, 0.1, 0.001]) {
  console.log("h =", h, " Euler(30) =", euler(30, h).toFixed(3), " exacte =", exacte(30).toFixed(3));
}

// 3. Demi-vie : le temps au bout duquel il reste la moitié.
const demiVie = 0; // à corriger, avec un logarithme
console.log("demi-vie :", demiVie.toFixed(3), "jours");

const N0 = 1000;
const LAMBDA = 0.05;

const exacte = (t) => N0 * Math.exp(-LAMBDA * t);

function euler(t, h) {
  let n = N0;
  for (let x = 0; x < t; x += h) {
    n = n - LAMBDA * n * h;
  }
  return n;
}

for (const h of [1, 0.1, 0.001]) {
  console.log("h =", h, " Euler(30) =", euler(30, h).toFixed(3), " exacte =", exacte(30).toFixed(3));
}

// N0/2 = N0 e^(−λT)  ⇔  1/2 = e^(−λT)  ⇔  −λT = ln(1/2)  ⇔  T = ln(2)/λ.
// La demi-vie ne dépend PAS de N0 : c'est la signature d'une décroissance
// exponentielle, et ce que le modèle affirme de plus fort.
const demiVie = Math.log(2) / LAMBDA;
console.log("demi-vie :", demiVie.toFixed(3), "jours"); // 13.863

À retenir