Complexes et transformations du plan

La leçon précédente s'est achevée sur une remarque : multiplier par $re^{i\theta}$ fait tourner et agrandit. Ce chapitre en tire toutes les conséquences. Une transformation du plan devient une formule, et chercher son centre revient à résoudre une équation du premier degré — là où la géométrie classique demandait une construction.

Les transformations élémentaires

Chacune s'écrit $z' = az + b$ pour un choix particulier de $a$.

La quatrième ligne contient les trois précédentes : $a$ réel positif donne l'homothétie, $\lvert a \rvert = 1$ donne la rotation. Il n'y a donc qu'une famille à connaître.

Similitude directe

Toute application $z \mapsto az + b$ avec $a \neq 0$ est une similitude directe. Deux cas, et la distinction est la première chose à faire.

Si $a = 1$, la transformation est la translation de vecteur d'affixe $b$. Elle n'a pas de point fixe (sauf si $b = 0$, auquel cas c'est l'identité).

Si $a \neq 1$, elle admet un unique point fixe $\omega$, appelé centre, obtenu en résolvant $\omega = a\omega + b$ :

et la transformation est la similitude directe de centre $\Omega$, de rapport $r = \lvert a \rvert$ et d'angle $\theta = \arg(a)$.

L'écriture réduite en découle et éclaire tout :

Elle se lit : on se place au centre, on tourne de $\theta$, on agrandit de $r$. C'est la forme sous laquelle une similitude devient géométriquement lisible, et l'énoncé la demande souvent explicitement.

Propriétés

Une similitude directe de rapport $r$ :

• multiplie toutes les distances par $r$ ;
• conserve les angles orientés — d'où le mot « directe » ;
• transforme une droite en droite, un cercle en cercle de rayon multiplié par $r$ ;
• multiplie les aires par $r^2$.

La conservation des angles est ce qui distingue les similitudes des transformations quelconques : une figure est transformée en une figure semblable, de même forme, à l'échelle près et tournée.

Composition. Composer deux similitudes directes donne une similitude directe : les rapports se multiplient, les angles s'ajoutent — puisque la composée de $z \mapsto az+b$ et $z \mapsto a'z+b'$ est $z \mapsto a'az + (a'b+b')$, dont le coefficient est $a'a$.

Reconnaître une transformation

Un énoncé donne l'écriture complexe et demande la nature. La démarche est fixe.

1. Identifier $a$ et $b$ dans $z' = az + b$.
2. Si $a = 1$ : translation de vecteur d'affixe $b$. Terminé.
3. Sinon, calculer $\lvert a \rvert$ et $\arg(a)$ : ce sont le rapport et l'angle.
4. Calculer $\omega = b/(1-a)$ : c'est le centre.
5. Nommer : rotation si $\lvert a \rvert = 1$, homothétie si $a$ est réel, similitude directe sinon.

L'étape 5 n'est pas une coquetterie de vocabulaire. Une rotation et une homothétie sont des similitudes, mais l'énoncé attend le nom le plus précis.

Le mouvement inverse

L'exercice complémentaire est aussi fréquent : on donne le centre, le rapport et l'angle, et l'on demande l'écriture complexe. On part de la forme réduite

et l'on développe. Il n'y a rien à retenir de plus : les deux sens du chapitre reposent sur la même égalité.

À vous

// Une similitude directe s'écrit z' = a·z + b.
// Ses éléments caractéristiques se lisent sur a et b, sans figure.

const mul = (u, v) => ({ re: u.re * v.re - u.im * v.im, im: u.re * v.im + u.im * v.re });
const sub = (u, v) => ({ re: u.re - v.re, im: u.im - v.im });
const div = (u, v) => {
  const d = v.re * v.re + v.im * v.im;
  return { re: (u.re * v.re + u.im * v.im) / d, im: (u.im * v.re - u.re * v.im) / d };
};

const a = { re: 0, im: 2 };   // a = 2i
const b = { re: 3, im: -1 };

// 1. Rapport et angle : module et argument de a.
const rapport = 0;   // à corriger
const angleDeg = 0;  // à corriger

// 2. Centre : le point fixe, solution de ω = a·ω + b.
const centre = { re: 0, im: 0 }; // à corriger

console.log("rapport :", rapport, " angle :", angleDeg, "°");
console.log("centre :", centre);

// 3. Vérification : le centre doit être invariant.
const image = (z) => ({ re: mul(a, z).re + b.re, im: mul(a, z).im + b.im });
console.log("image du centre :", image(centre));

const mul = (u, v) => ({ re: u.re * v.re - u.im * v.im, im: u.re * v.im + u.im * v.re });
const sub = (u, v) => ({ re: u.re - v.re, im: u.im - v.im });
const div = (u, v) => {
  const d = v.re * v.re + v.im * v.im;
  return { re: (u.re * v.re + u.im * v.im) / d, im: (u.im * v.re - u.re * v.im) / d };
};

const a = { re: 0, im: 2 };
const b = { re: 3, im: -1 };

// |a| = 2 : agrandissement de rapport 2. arg(a) = π/2 : quart de tour direct.
const rapport = Math.hypot(a.re, a.im);
const angleDeg = (Math.atan2(a.im, a.re) * 180) / Math.PI;

// ω = aω + b  ⇔  ω(1 − a) = b  ⇔  ω = b / (1 − a).
const centre = div(b, sub({ re: 1, im: 0 }, a));

console.log("rapport :", rapport, " angle :", angleDeg, "°"); // 2 et 90°
console.log("centre :", centre); // { re: 1, im: 1 }

const image = (z) => ({ re: mul(a, z).re + b.re, im: mul(a, z).im + b.im });
console.log("image du centre :", image(centre)); // le centre lui-même

À retenir