Géométrie de l'espace

Passer du plan à l'espace ajoute une coordonnée et retire une évidence : deux droites qui ne se coupent pas ne sont plus forcément parallèles. Le chapitre consiste à remplacer l'intuition visuelle, qui devient trompeuse, par un calcul vectoriel qui ne l'est pas.

Vecteurs, colinéarité, coplanarité

Les règles de calcul vectoriel sont celles du plan — Chasles, combinaisons linéaires — et s'écrivent en coordonnées dans un repère de l'espace.

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s'il existe $k$ tel que $\vec{v} = k\vec{u}$. En coordonnées, les composantes sont proportionnelles.

Trois vecteurs sont coplanaires si l'un est combinaison linéaire des deux autres : $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$. C'est la notion vraiment nouvelle du chapitre : dans le plan, trois vecteurs le sont toujours ; dans l'espace, cela devient une condition.

Quatre points $A$, $B$, $C$, $D$ sont coplanaires si $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AD}$ le sont. C'est la question posée avant toute étude de configuration.

Produit scalaire

Il s'écrit dans l'espace comme dans le plan :

et l'équivalence qui porte tout le chapitre :

L'orthogonalité devient un calcul, pas une observation. C'est le seul outil disponible pour démontrer une perpendicularité dans l'espace, où le dessin ne prouve rien.

Plans

Un plan est déterminé par un point $A$ et un vecteur normal $\vec{n}(a;b;c)$ — un vecteur orthogonal à toutes les directions du plan. Un point $M(x;y;z)$ appartient au plan si et seulement si $\overrightarrow{AM}\cdot\vec{n} = 0$, ce qui donne l'équation cartésienne :

Lire cette équation, c'est lire le vecteur normal : les coefficients de $x$, $y$, $z$ sont ses coordonnées. C'est l'information la plus utile du chapitre, et elle est gratuite.

Deux plans sont parallèles si leurs vecteurs normaux sont colinéaires, perpendiculaires si leurs normaux sont orthogonaux.

Distance d'un point à un plan :

La valeur absolue n'est pas décorative : sans elle on obtient une quantité signée, qui indique de quel côté du plan se trouve $M$ — utile parfois, mais ce n'est pas une distance.

Droites

Une droite se décrit par un point $A$ et un vecteur directeur $\vec{u}(\alpha;\beta;\gamma)$, sous forme de représentation paramétrique :

Dans l'espace, une droite n'a pas d'équation cartésienne unique : il en faut deux, la droite étant l'intersection de deux plans. C'est pourquoi la forme paramétrique est la représentation naturelle, et celle qu'on emploie.

Le paramètre $t$ n'a aucune signification géométrique intrinsèque. Deux représentations paramétriques différentes peuvent décrire la même droite, et le vérifier demande de comparer un point et une direction — jamais les paramètres.

Positions relatives

Droite et plan. On reporte la représentation paramétrique dans l'équation du plan, ce qui donne une équation en $t$. Trois issues, et elles sont exhaustives :

Deux plans. Normaux colinéaires : plans parallèles, confondus ou strictement. Normaux non colinéaires : les plans se coupent selon une droite.

Deux droites. C'est ici que l'espace se distingue du plan. Quatre positions : confondues, strictement parallèles, sécantes, ou non coplanaires. Ce dernier cas — deux droites qui ne se coupent pas et ne sont pas parallèles — n'existe pas dans le plan, et c'est celui qu'on oublie.

Sphères

La sphère de centre $\Omega(a;b;c)$ et de rayon $R$ a pour équation

Développée, elle se présente sous une forme où le centre et le rayon ne se lisent plus : on les retrouve en regroupant les carrés, exactement comme pour un cercle dans le plan. Si la constante obtenue est négative, l'ensemble est vide — un cas d'énoncé, pas une erreur de calcul.

L'intersection d'une sphère et d'un plan est un cercle, un point, ou l'ensemble vide, selon que la distance du centre au plan est inférieure, égale ou supérieure à $R$. On compare donc une distance à un rayon, sans jamais dessiner.

À vous

// Un plan par trois points, puis la distance d'un point à ce plan.

const A = [1, 0, 2], B = [3, 1, 0], C = [0, 2, 1], M = [4, 4, 4];

const sub = (u, v) => u.map((x, i) => x - v[i]);
const dot = (u, v) => u.reduce((s, x, i) => s + x * v[i], 0);

// 1. Un vecteur normal : le produit vectoriel de AB et AC.
function produitVectoriel(u, v) {
  return [0, 0, 0]; // à corriger
}

const n = produitVectoriel(sub(B, A), sub(C, A));
console.log("vecteur normal :", n);

// 2. Équation ax + by + cz + d = 0 : (a,b,c) = n, et d se trouve avec A.
const d = 0; // à corriger
console.log("équation :", n[0], "x +", n[1], "y +", n[2], "z +", d, "= 0");

// 3. Distance de M au plan : |a·xM + b·yM + c·zM + d| / ||n||.
const distance = 0; // à corriger
console.log("distance :", distance.toFixed(6));

const A = [1, 0, 2], B = [3, 1, 0], C = [0, 2, 1], M = [4, 4, 4];

const sub = (u, v) => u.map((x, i) => x - v[i]);
const dot = (u, v) => u.reduce((s, x, i) => s + x * v[i], 0);

// Le produit vectoriel donne un vecteur orthogonal aux deux : c'est
// exactement la définition d'un vecteur normal au plan (ABC).
function produitVectoriel(u, v) {
  return [
    u[1] * v[2] - u[2] * v[1],
    u[2] * v[0] - u[0] * v[2],
    u[0] * v[1] - u[1] * v[0],
  ];
}

const n = produitVectoriel(sub(B, A), sub(C, A));
console.log("vecteur normal :", n); // [3, 4, 5]

// A appartient au plan : a·xA + b·yA + c·zA + d = 0, donc d = −n·A.
const d = -dot(n, A);
console.log("équation :", n[0], "x +", n[1], "y +", n[2], "z +", d, "= 0");

// La valeur absolue au numérateur : une distance est positive, et le signe
// de a·x + b·y + c·z + d indique seulement de quel côté du plan on est.
const distance = Math.abs(dot(n, M) + d) / Math.hypot(...n);
console.log("distance :", distance.toFixed(6));

À retenir