Statistiques à deux variables

Les statistiques à deux variables cherchent à savoir si deux grandeurs varient ensemble, et si oui, selon quelle loi. C'est le seul chapitre du programme où l'on part de données et non d'un énoncé mathématique — et la seule conclusion qu'il autorise est plus prudente qu'il n'y paraît.

Le nuage de points

Une série double associe à chaque individu un couple $(x_i;y_i)$. Représentés dans un repère, ces couples forment un nuage de points.

Le point moyen $G(\bar{x};\bar{y})$ a pour coordonnées les deux moyennes. Il joue le rôle de centre de gravité du nuage, et toute droite d'ajustement passera par lui.

Lire le nuage précède tout calcul. Si les points ne s'alignent visiblement pas, un ajustement affine n'a pas de sens et le calculer quand même produit une droite dénuée de signification.

Covariance et corrélation

La covariance mesure la tendance des deux variables à s'écarter de leur moyenne dans le même sens :

Positive, les variables varient dans le même sens ; négative, en sens contraire. Mais sa valeur dépend des unités : la remplacer par des centimètres au lieu de mètres la multiplie par cent, sans que la relation ait changé.

Le coefficient de corrélation linéaire corrige ce défaut en normalisant :

Il est sans dimension, donc comparable d'une série à l'autre. Plus $\lvert r \rvert$ est proche de 1, plus les points sont alignés ; proche de 0, aucune relation affine ne se dégage.

Le mot affine est essentiel : $r$ ne mesure qu'un alignement. Des points parfaitement disposés sur une parabole peuvent donner $r$ proche de 0, alors que la relation entre $x$ et $y$ est parfaitement déterministe.

Droite des moindres carrés

Parmi toutes les droites, on cherche celle qui minimise la somme des carrés des écarts verticaux entre les points et la droite. Elle est unique, d'équation $y = ax + b$ avec

La seconde formule dit exactement que la droite passe par le point moyen $G$ : c'est la propriété à retenir, et elle fournit un contrôle immédiat du calcul.

Pourquoi les carrés des écarts ? Parce que la somme des écarts simples est nulle pour une infinité de droites — les écarts positifs compensent les négatifs. Élever au carré supprime les signes et pénalise davantage les grands écarts, ce qui donne une solution unique.

Il existe aussi une droite de régression de $x$ en $y$, qui minimise les écarts horizontaux. Les deux droites diffèrent, et se confondent seulement si $\lvert r \rvert = 1$. L'énoncé précise toujours laquelle il attend.

Ce qu'un ajustement autorise

Une fois la droite obtenue, on peut interpoler — estimer une valeur à l'intérieur de la plage observée — avec une confiance raisonnable.

Extrapoler au-delà de cette plage est une autre affaire. Rien ne garantit que la tendance se prolonge, et l'ajustement n'en dit rien : il décrit les données observées, pas la loi qui les produit. Une croissance affine observée sur cinq ans ne prédit pas l'année vingt.

Enfin, une corrélation forte n'établit aucune causalité. Deux grandeurs peuvent varier ensemble parce qu'une troisième les gouverne toutes deux, ou par pure coïncidence sur un échantillon trop petit. C'est la mise en garde qui clôt le chapitre, et la seule que les mathématiques ne peuvent pas lever seules.

À vous

// Droite d'ajustement par la méthode des moindres carrés.
const X = [1, 2, 3, 4, 5, 6];
const Y = [2.1, 3.9, 6.2, 7.8, 10.1, 12.2];

const moyenne = (t) => t.reduce((s, x) => s + x, 0) / t.length;

// 1. Covariance et variances.
function covariance(x, y) {
  const mx = moyenne(x), my = moyenne(y);
  return 0; // à corriger : moyenne des (xi − mx)(yi − my)
}
function variance(t) {
  const m = moyenne(t);
  return 0; // à corriger
}

// 2. Droite y = ax + b.
const a = 0; // à corriger : cov(x,y) / var(x)
const b = 0; // à corriger : la droite passe par le point moyen

// 3. Coefficient de corrélation.
const r = 0; // à corriger

console.log("y =", a.toFixed(4), "x +", b.toFixed(4));
console.log("r =", r.toFixed(6));
console.log("le point moyen est-il sur la droite ?",
  (a * moyenne(X) + b).toFixed(6), "vs", moyenne(Y).toFixed(6));

const X = [1, 2, 3, 4, 5, 6];
const Y = [2.1, 3.9, 6.2, 7.8, 10.1, 12.2];

const moyenne = (t) => t.reduce((s, x) => s + x, 0) / t.length;

function covariance(x, y) {
  const mx = moyenne(x), my = moyenne(y);
  return moyenne(x.map((xi, i) => (xi - mx) * (y[i] - my)));
}
function variance(t) {
  const m = moyenne(t);
  return moyenne(t.map((x) => (x - m) ** 2));
}

const a = covariance(X, Y) / variance(X);
// La droite des moindres carrés passe TOUJOURS par le point moyen :
// c'est ce qui détermine b une fois a connu.
const b = moyenne(Y) - a * moyenne(X);

const r = covariance(X, Y) / Math.sqrt(variance(X) * variance(Y));

console.log("y =", a.toFixed(4), "x +", b.toFixed(4));
console.log("r =", r.toFixed(6)); // ≈ 0,9993 : ajustement affine excellent
console.log("le point moyen est-il sur la droite ?",
  (a * moyenne(X) + b).toFixed(6), "vs", moyenne(Y).toFixed(6));

À retenir