Mathématiques · C1 Outils de base · Chapitre 4 · 5 h

Sujets types — Outils de base

Exercices de bac sur la logique, le dénombrement et le barycentre.

Les trois chapitres précédents ne sont pas des sujets d'examen : ce sont des outils. Un énoncé de baccalauréat ne demande jamais « faites une récurrence » ni « calculez un barycentre ». Il pose une question, et c'est à vous de reconnaître lequel des trois outils la résout.

Cette leçon travaille exactement cette reconnaissance. Chaque sujet est donné en entier, puis décortiqué : ce que l'énoncé dit, ce qu'il ne dit pas, et le geste attendu.

Sujet 1 — Une somme à démontrer

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_n = 1^3 + 2^3 + \cdots + n^3$ pour $n \geqslant 1$ . Démontrer que pour tout entier $n \geqslant 1$ , $u_n = \left(n(n+1)/2\right)^2$ .

Lecture de l'énoncé. Une propriété qui dépend d'un entier $n$ , à démontrer pour tout $n$ . Il n'y a pas d'autre outil : c'est une récurrence. Le mot n'apparaît pas dans l'énoncé, et il n'apparaîtra jamais.

Initialisation. Pour $n = 1$ : $u_1 = 1$ et le membre de droite vaut $(1 \times 2 / 2)^2 = 1$ . La propriété est vraie au rang 1. Une ligne, un calcul.

Hérédité. On suppose la propriété vraie à un rang $k \geqslant 1$ quelconque. Alors

u_{k+1} = u_k + (k+1)^3 = \left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2 + (k+1)^3

Tout le travail est là : faire apparaître le membre de droite au rang $k+1$ . On factorise par $(k+1)^2$ :

u_{k+1} = (k+1)^2\left(\frac{k^2}{4} + (k+1)\right) = (k+1)^2 \cdot \frac{k^2 + 4k + 4}{4} = \left(\frac{(k+1)(k+2)}{2}\right)^2

ce qui est exactement la propriété au rang $k+1$ .

Quiz · 1 question

Dans l'hérédité, on écrit « supposons u_k = (k(k+1)/2)² ». Que suppose-t-on au juste ?

Que la propriété est vraie pour tout k, ce qu'on veut démontrer — cercle vicieux
Que la propriété est vraie pour UN rang k fixé, sans savoir lequel — hypothèse de récurrence
Que la propriété est vraie pour k = 1, déjà vérifié — initialisation

Réponse : On fixe un k quelconque et on suppose la propriété à ce rang-là seulement. Supposer « pour tout k » serait supposer ce qu'on démontre — c'est le contresens qui invalide une copie entière, même quand le calcul qui suit est juste.

Sujet 2 — Un comité

Un club compte 7 femmes et 5 hommes. On forme un comité de 4 personnes.

Combien de comités possibles ?

Combien comportent exactement 2 femmes ?

Combien comportent au moins une femme ?

Lecture. « Comité » : un ensemble, donc sans ordre. Personne n'y figure deux fois, donc sans remise. Les deux questions du chapitre sont tranchées avant tout calcul — c'est une affaire de combinaisons.

Question 1. Choisir 4 personnes parmi 12 :

\binom{12}{4} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 495

Question 2. Le comité se construit en deux temps indépendants : 2 femmes parmi 7, puis 2 hommes parmi 5. Deux choix successifs se multiplient :

\binom{7}{2} \times \binom{5}{2} = 21 \times 10 = 210

Question 3. « Au moins une » : le réflexe du complémentaire. Le contraire de « au moins une femme » est « aucune femme », c'est-à-dire 4 hommes parmi 5, soit $\binom{5}{4} = 5$ comités. Donc $495 - 5 = 490$ .

Traiter la question 3 directement demanderait quatre calculs — exactement 1, 2, 3 ou 4 femmes — et leur somme. Le complémentaire en demande un.

Quiz · 1 question

Pourquoi multiplie-t-on C(7,2) par C(5,2) à la question 2, au lieu de les additionner ?

Parce que les deux choix sont faits l'un après l'autre et se combinent — principe multiplicatif
Parce que l'addition ne s'applique qu'aux ensembles disjoints — principe additif
Parce que la multiplication donne toujours un plus grand nombre — aucun rapport

Réponse : Chacun des 21 choix de femmes peut être associé à chacun des 10 choix d'hommes : on multiplie. On additionne quand on compte des cas qui s'excluent — « 2 femmes » OU « 3 femmes », par exemple.

Sujet 3 — Un lieu géométrique

$ABC$ est un triangle. Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan tels que $\lVert 2\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} \rVert = 12$ .

Lecture. Une somme de vecteurs variables, dont on impose la norme. La somme des coefficients vaut $2 + 1 + 1 = 4 \neq 0$ : le barycentre existe. C'est le signal.

Réduction. Soit $G$ le barycentre de $\{(A,2),(B,1),(C,1)\}$ . La propriété fondamentale donne, pour tout point $M$ :

2\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = 4\,\overrightarrow{MG}

La condition devient $\lVert 4\overrightarrow{MG} \rVert = 12$ , c'est-à-dire $MG = 3$ .

Conclusion. L'ensemble cherché est le cercle de centre $G$ et de rayon 3. Une condition portant sur trois points variables est devenue une condition portant sur un seul : c'est tout ce que le barycentre sert à faire.

Il reste à placer $G$ , ce que l'énoncé attend explicitement : $G$ est le barycentre de $A$ affecté de 2 et du milieu $I$ de $[BC]$ affecté de 2 — par associativité — donc $G$ est le milieu de $[AI]$ .

Quiz · 1 question

Si l'énoncé avait demandé la norme de « MA + MB − 2MC », que faudrait-il faire ?

Le même calcul, avec le barycentre de coefficients 1, 1 et −2 — réduction habituelle
Constater que la somme des coefficients est nulle : pas de barycentre — somme nulle
Changer l'ordre des points pour rendre la somme non nulle — réordonner

Réponse : 1 + 1 − 2 = 0 : aucun barycentre n'existe. La somme vectorielle est alors CONSTANTE, indépendante de M — on la calcule une fois, et l'ensemble cherché est soit vide, soit le plan entier. C'est un cas d'énoncé fréquent, et le piège tient à ne pas vérifier la somme des coefficients.

Vérifier plutôt que croire

Un résultat de dénombrement se contrôle en énumérant sur un petit cas. Si la formule et l'énumération divergent, c'est la formule qui est fausse.

Exercice de code

Comptez les comités de 3 personnes parmi 6 comprenant au moins une femme, par énumération puis par formule.

Point de départ

// Une formule de dénombrement se vérifie en énumérant, sur de petits cas.
// C'est le seul contrôle honnête : si l'énumération et la formule divergent,
// c'est la formule qui est fausse.

// Comités de 3 personnes parmi 6, dont AU MOINS une femme.
// Les personnes 0, 1, 2 sont des femmes ; 3, 4, 5 des hommes.
const PERSONNES = [0, 1, 2, 3, 4, 5];
const EST_FEMME = (p) => p < 3;

// 1. Énumération : construire toutes les parties à 3 éléments, puis filtrer.
function parEnumeration() {
  let compte = 0;
  for (let a = 0; a < 6; a++)
    for (let b = a + 1; b < 6; b++)
      for (let c = b + 1; c < 6; c++) {
        // à compléter : ne compter que si le comité contient une femme
      }
  return compte;
}

// 2. Formule : total − aucun homme… non, total − « aucune femme ».
const C = (n, p) => (p === 0 ? 1 : (C(n - 1, p - 1) * n) / p);
function parFormule() {
  return 0; // à corriger : C(6,3) moins les comités sans aucune femme
}

console.log(parEnumeration(), parFormule()); // les deux doivent donner 19

Solution

const EST_FEMME = (p) => p < 3;

function parEnumeration() {
  let compte = 0;
  for (let a = 0; a < 6; a++)
    for (let b = a + 1; b < 6; b++)
      for (let c = b + 1; c < 6; c++) {
        if (EST_FEMME(a) || EST_FEMME(b) || EST_FEMME(c)) compte++;
      }
  return compte;
}

const C = (n, p) => (p === 0 ? 1 : (C(n - 1, p - 1) * n) / p);

// « Au moins une femme » se compte par le complémentaire : tous les comités,
// moins ceux formés uniquement des 3 hommes.
function parFormule() {
  return C(6, 3) - C(3, 3);
}

console.log(parEnumeration(), parFormule()); // 19 19

QCM du bloc

QCM de bloc · 6 questions

Bloc I — Outils de base

1. On vient de démontrer « si n² est impair, alors n est impair ». Qu'a-t-on démontré du même coup, sans une ligne de plus ?

Que si n est impair, alors n² est impair
Que si n est pair, alors n² est pair
Rien d'autre : une implication ne donne qu'elle-même

Réponse : La contraposée ¬Q ⇒ ¬P est le MÊME énoncé : « n pair ⇒ n² pair » est acquis gratuitement. La première option est la réciproque, un énoncé différent qu'il faudrait démontrer à part — c'est la confusion qui coûte le plus de points dans les questions d'équivalence.

2. Une copie établit correctement P(k) ⇒ P(k+1) pour tout k ⩾ 0, mais ne vérifie pas P(0). Qu'a-t-elle démontré ?

P(n) pour tout n ⩾ 1, seul le rang 0 manque
Rien du tout : aucun rang n'est acquis
P(n) pour tout n, l'initialisation n'étant qu'une formalité

Réponse : L'hérédité transporte une vérité, elle n'en crée aucune. La propriété « n² + n est impair » est héréditaire — ajouter 2k+2 ne change pas la parité — et pourtant fausse à tous les rangs, puisque n(n+1) est toujours pair. Sans premier domino, la chaîne ne démarre pas.

3. Une urne contient 12 jetons numérotés. On en tire 4 simultanément. Combien de résultats possibles ?

12⁴ = 20 736
A(12,4) = 11 880
C(12,4) = 495

Réponse : « Simultanément » ferme les deux questions d'un coup : pas de remise, et pas d'ordre. C'est donc une combinaison, C(12,4) = 495. Répondre 11 880 revient à distinguer des tirages qui sont le même ensemble de jetons.

4. On lance cinq fois un dé à six faces. Combien de résultats contiennent au moins un 6 ?

5 × 6⁴ = 6 480
6⁵ − 5⁵ = 4 651
6⁵ − 5 = 7 771

Réponse : « Au moins un » se traite par le complémentaire : 7 776 résultats en tout, 3 125 sans aucun 6, donc 4 651. La première option compte plusieurs fois les lancers contenant deux 6 ou plus — l'erreur que le passage au complémentaire est fait d'éviter.

5. Le barycentre du système {(A, 3), (B, −3)} existe-t-il ?

Oui, et il appartient à la droite (AB)
Non : la somme des coefficients est nulle
Oui, c'est le milieu de [AB] par symétrie

Réponse : Aucun point ne convient quand α + β = 0, et c'est la vérification qui ouvre la copie. L'échec est instructif : 3·MA − 3·MB vaut 3·BA, un vecteur CONSTANT indépendant de M. C'est pour cela qu'un tel système donne une droite comme lieu, là où un système de masse non nulle donne un cercle.

6. G est le barycentre de {(A, 2), (B, 3)}. Quel est l'ensemble des points M tels que la norme de 2·MA + 3·MB vaille 10 ?

Le cercle de centre G et de rayon 2
Le cercle de centre le milieu de [AB] et de rayon 10
La médiatrice du segment [AB]

Réponse : La propriété fondamentale réduit la somme à 5·MG, d'où MG = 2. Le centre est G, pas le milieu de [AB] : les deux ne coïncident que si les coefficients sont égaux. Oublier de diviser par la masse totale donne un rayon dix fois trop grand.

Les gestes du bloc

L'énoncé contient…	L'outil	Le premier geste
« pour tout entier $n$ »	récurrence	vérifier le premier rang
« combien de… »	dénombrement	remise ? ordre ?
« au moins un… »	complémentaire	compter le contraire
une somme de vecteurs $\overrightarrow{MA_i}$	barycentre	somme des coefficients $\neq 0$ ?
« ensemble des points $M$ tels que… »	réduction puis lieu connu	ramener à un seul vecteur

À retenir

Flashcards · 4 cartes

Un énoncé demande de démontrer une propriété « pour tout entier n ». Que fait-on ?: Une récurrence. Le mot n'apparaît jamais dans l'énoncé : c'est le quantificateur « pour tout n » qui le déclenche.
Dans une hérédité, que suppose-t-on exactement ?: La propriété à UN rang k fixé quelconque — jamais pour tout k, ce serait supposer ce qu'on démontre.
Quand multiplie-t-on deux dénombrements, quand les additionne-t-on ?: On multiplie des choix successifs qui se combinent, on additionne des cas qui s'excluent mutuellement.
Que vérifier avant d'introduire un barycentre ?: Que la somme des coefficients est non nulle. Si elle est nulle, la somme vectorielle est constante et il n'y a pas de barycentre.