Physique · C1 Mécanique · Chapitre 1 · 8 h

Cinématique

Décrire un mouvement avant de l'expliquer : référentiel et repère, vecteurs position, vitesse et accélération, équations horaires, mouvement circulaire uniforme.

La cinématique décrit un mouvement sans chercher à l'expliquer. Elle ne parle ni de forces ni de causes : elle répond à « où est le mobile, à quelle vitesse, et comment cette vitesse change ». L'explication viendra au chapitre suivant, avec les lois de Newton.

Cette séparation n'est pas une commodité de plan. Un exercice de mécanique se traite toujours dans cet ordre — décrire d'abord, expliquer ensuite — et l'inverser est la première source de blocage : on cherche les forces avant d'avoir choisi le repère dans lequel on va les projeter.

Référentiel, repère, et pourquoi ils ne sont pas la même chose

Le référentiel est le solide par rapport auquel on observe. Le repère est le système d'axes qu'on attache à ce solide pour écrire des nombres.

La distinction se voit dans un exemple : un voyageur assis dans un train est immobile dans le référentiel du wagon et animé de 200 km/h dans le référentiel du sol. Ce n'est pas le même mouvement décrit de deux façons, ce sont deux mouvements différents — et aucun des deux n'est plus vrai que l'autre. Un mouvement n'existe que relativement à un référentiel, et un énoncé qui l'omet est incomplet.

Trois référentiels reviennent au programme :

Référentiel	Origine	Axes dirigés vers	Usage
Terrestre	un point du sol	trois directions fixes du sol	chute, projectile, plan incliné
Géocentrique	centre de la Terre	trois étoiles lointaines	satellites
Héliocentrique	centre du Soleil	trois étoiles lointaines	planètes

Le référentiel terrestre est considéré comme galiléen à l'échelle d'un exercice : sa rotation existe mais ses effets sont négligeables pour une chute de quelques secondes.

Les trois vecteurs

Toute la cinématique tient dans une chaîne de deux dérivations.

\overrightarrow{OM}(t) \quad\xrightarrow{\;\frac{d}{dt}\;}\quad \vec{v}(t) \quad\xrightarrow{\;\frac{d}{dt}\;}\quad \vec{a}(t)

En coordonnées cartésiennes, dériver un vecteur revient à dériver chacune de ses composantes séparément :

\overrightarrow{OM}\begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} \qquad \vec{v}\begin{pmatrix} \dot{x}(t) \\ \dot{y}(t) \end{pmatrix} \qquad \vec{a}\begin{pmatrix} \ddot{x}(t) \\ \ddot{y}(t) \end{pmatrix}

C'est cette propriété qui rend le choix du repère décisif : bien orienté, il découple le problème en deux mouvements indépendants qu'on traite l'un après l'autre. Mal orienté, il oblige à manipuler des composantes couplées pour rien.

Deux points de vocabulaire qui coûtent des points en copie :

La vitesse moyenne est un quotient de distance par durée ; la vitesse instantanée est une dérivée. Elles ne coïncident presque jamais, et un énoncé qui donne un temps de parcours et une distance ne donne pas la vitesse à l'arrivée.

L'accélération n'est pas « le fait d'aller plus vite ». C'est la variation du vecteur vitesse. Un mobile dont la vitesse garde une norme constante mais change de direction est accéléré — c'est exactement le cas du mouvement circulaire uniforme, plus bas.

Quiz · 1 question

Un mobile parcourt un cercle à vitesse de norme constante. Son accélération est-elle nulle ?

Oui, puisque la vitesse ne change pas — norme
Non : la direction du vecteur vitesse change, donc le vecteur vitesse change — vecteur
Seulement si le rayon est grand — conditionnel

Réponse : L'accélération est la dérivée du VECTEUR vitesse, pas de sa norme. Un changement de direction suffit à la rendre non nulle — et c'est ce qui permettra, au chapitre suivant, d'affirmer qu'une force s'exerce sur le mobile.

Mouvement rectiligne uniforme

Trajectoire droite, vitesse constante, accélération nulle. Une seule équation :

x(t) = v\,t + x_0

Le mouvement est uniforme parce que $\vec{a} = \vec{0}$ , et cette condition est exactement celle de la première loi de Newton : rien ne le distingue de l'immobilité, sinon le référentiel choisi.

Mouvement rectiligne uniformément varié

Trajectoire droite, accélération constante non nulle. C'est le cas le plus fréquent de l'épreuve, et les deux équations horaires s'obtiennent en intégrant $a$ deux fois :

v(t) = a\,t + v_0 \qquad\qquad x(t) = \tfrac{1}{2}a\,t^2 + v_0\,t + x_0

Les constantes d'intégration ne sont pas des inconnues à déterminer laborieusement : ce sont les conditions initiales, la vitesse et la position à $t = 0$ .

En éliminant $t$ entre ces deux relations, on obtient une troisième équation qui ne contient plus le temps :

v^2 - v_0^{\,2} = 2a\,(x - x_0)

Elle n'apporte aucune physique nouvelle, mais elle est indispensable dans un cas précis : lorsque l'énoncé ne donne aucune durée. « Quelle distance de freinage pour passer de 90 km/h à l'arrêt avec une décélération de 5 m/s² » se résout par cette seule ligne.

Uniformément varié ne veut pas dire accéléré. Le mouvement est accéléré si $\vec{v}$ et $\vec{a}$ ont le même sens, retardé s'ils sont opposés. Le critère se lit sur le signe du produit $a \cdot v$ , et il peut changer au cours du mouvement : un mobile lancé vers le haut est d'abord retardé, puis accéléré, sans que son accélération ait varié d'un iota.

Quiz · 1 question

Un mobile a une accélération constante a = −3 m/s² et une vitesse initiale v₀ = 12 m/s. Que se passe-t-il après l'instant t = 4 s où sa vitesse s'annule ?

Il reste immobile : la vitesse est nulle et rien ne la relance — arrêt définitif
Il repart en sens inverse, en mouvement accéléré — demi-tour
L'accélération devient nulle à son tour — extinction

Réponse : Rien dans l'énoncé ne fait disparaître l'accélération à t = 4 s. Elle reste égale à −3 m/s², la vitesse continue donc de décroître et devient négative : le mobile revient sur ses pas, cette fois en mouvement accéléré. « Vitesse nulle » décrit un instant, pas un état.

Mouvement circulaire uniforme

La trajectoire est un cercle de rayon $R$ , parcouru à vitesse de norme constante. On l'écrit dans le repère de Frenet, dont les deux axes suivent le mobile : $\vec{u}_T$ tangent, orienté dans le sens du mouvement, $\vec{u}_N$ normal, dirigé vers le centre.

\vec{v} = v\,\vec{u}_T \qquad\qquad \vec{a} = \frac{v^2}{R}\,\vec{u}_N

L'accélération est purement normale : sa composante tangentielle $\dfrac{dv}{dt}$ est nulle puisque $v$ ne varie pas. Elle est centripète — dirigée vers le centre, jamais vers l'extérieur. La « force centrifuge » que l'intuition réclame n'existe pas dans un référentiel galiléen ; ce qu'on ressent dans un virage est l'effet de la force centripète exercée par le siège.

Les grandeurs associées se déduisent les unes des autres :

\omega = \frac{v}{R} \qquad T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi R}{v} \qquad f = \frac{1}{T}

où $\omega$ est la vitesse angulaire en rad/s, $T$ la période en secondes, $f$ la fréquence en hertz. L'accélération s'écrit aussi $a = \omega^2 R$ , forme plus commode dès que l'énoncé fournit une période plutôt qu'une vitesse — le cas de tous les exercices sur les satellites.

La méthode, en cinq lignes

Un exercice de cinématique se traite toujours dans le même ordre, et le respecter fait gagner un temps considérable.

Référentiel : nommé explicitement, même quand il paraît évident.
Repère : origine et sens des axes, choisis pour simplifier — l'axe le long du mouvement, ou le long de la pente.
Conditions initiales : $x_0$ et $v_0$ lus dans l'énoncé, avec leur signe.
Équations horaires, écrites une fois pour toutes.
Résolution : la question posée devient une équation en $t$ ou en $x$ .

L'étape 2 est celle qui se néglige et qui coûte le plus cher. Un axe vertical orienté vers le haut donne $a = -g$ ; orienté vers le bas, $a = +g$ . Les deux choix sont corrects, mais les mélanger en cours de calcul ne l'est pas.

À vous

Exercice de code

Écrivez les équations horaires x(t) et v(t), calculez la date d'arrêt, puis vérifiez numériquement la relation indépendante du temps.

Point de départ

// Un mobile part de x0 = 5 m avec v0 = 12 m/s et décélère
// uniformément : a = -3 m/s².
const x0 = 5, v0 = 12, a = -3;

// 1. Les deux équations horaires du mouvement rectiligne
//    uniformément varié.
const x = (t) => 0;  // à corriger
const v = (t) => 0;  // à corriger

// 2. La date d'arrêt : l'instant où la vitesse s'annule.
const tArret = 0;    // à corriger

console.log(x(2), v(2));      // attendu : 23 6
console.log(tArret);          // attendu : 4
console.log(x(tArret));       // attendu : 29 — l'abscisse maximale

// 3. La relation indépendante du temps, v² - v0² = 2a(x - x0),
//    doit être vérifiée à TOUTE date. On le contrôle en t = 2.
const ecart = v(2) ** 2 - v0 ** 2 - 2 * a * (x(2) - x0);
console.log(ecart);           // attendu : 0

Solution

const x0 = 5, v0 = 12, a = -3;

// Les deux équations sortent d'une double intégration de a = -3 :
// v est une primitive de a, x une primitive de v. Les constantes
// d'intégration sont exactement les conditions initiales.
const x = (t) => 0.5 * a * t ** 2 + v0 * t + x0;
const v = (t) => a * t + v0;

// v(t) = 0 donne t = -v0/a. Le signe est correct parce que a est
// négatif : une décélération.
const tArret = -v0 / a;

console.log(x(2), v(2));      // 23 6
console.log(tArret);          // 4
console.log(x(tArret));       // 29

// L'écart est nul, et il l'est pour tout t : cette relation n'est
// pas une troisième loi, c'est l'élimination de t entre les deux
// premières. Elle sert quand l'énoncé ne donne AUCUNE durée.
const ecart = v(2) ** 2 - v0 ** 2 - 2 * a * (x(2) - x0);
console.log(ecart);           // 0

// Piège classique : le mobile ne s'arrête pas définitivement en
// t = 4 s. L'accélération reste égale à -3, donc il repart en
// sens inverse. « Vitesse nulle » ne veut pas dire « immobile ».
console.log(v(6), x(6));      // -6 23 — il est revenu sur ses pas

Un exercice de bac

Exercice 1

Freinage d'urgence

Un véhicule roule à $90$ km/h sur une route horizontale. Le conducteur freine et s'arrête sur une distance de $62{,}5$ m, d'un mouvement supposé uniformément varié.

Calculer l'accélération.
Calculer la durée du freinage.
Le conducteur a un temps de réaction de $1$ s avant d'appuyer sur la pédale. Quelle est la distance totale d'arrêt ?

Correction

1. La vitesse initiale se convertit d'abord : $v_0 = 90 / 3{,}6 = 25$ m/s. Aucune durée n'est donnée, donc on emploie la relation indépendante du temps, avec $v = 0$ à l'arrêt :

0 - v_0^{\,2} = 2a\,d \quad\Longrightarrow\quad a = \frac{-v_0^{\,2}}{2d} = \frac{-625}{125} = -5{,}0\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}

Le signe négatif est attendu : l'accélération est opposée à la vitesse, le mouvement est retardé.

2. Maintenant que $a$ est connue, l'équation de la vitesse donne la durée :

0 = a\,t + v_0 \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{-v_0}{a} = \frac{-25}{-5} = 5{,}0\ \text{s}

3. Pendant la seconde de réaction, le mouvement est uniforme — le conducteur n'a pas encore freiné :

d_{\text{réaction}} = v_0 \times 1 = 25\ \text{m}

La distance totale est donc $25 + 62{,}5 = 87{,}5$ m. Le temps de réaction ajoute 40 % à la distance d'arrêt : c'est la question qui donne son sens à l'exercice, et il ne faut surtout pas y appliquer les équations du freinage.

Exercice 2

Un satellite en orbite circulaire

Un satellite décrit une orbite circulaire de rayon $R = 7{,}0 \times 10^6$ m autour de la Terre, avec une période $T = 5{,}8 \times 10^3$ s.

Calculer sa vitesse et sa vitesse angulaire.
Calculer son accélération, et préciser sa direction et son sens.

Correction

1. Le mobile parcourt la circonférence en une période :

v = \frac{2\pi R}{T} = \frac{2\pi \times 7{,}0 \times 10^6}{5{,}8 \times 10^3} \approx 7{,}6 \times 10^3\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}

\omega = \frac{2\pi}{T} \approx 1{,}08 \times 10^{-3}\ \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}

2. Le mouvement étant circulaire uniforme, l'accélération est purement normale. La forme $a = \omega^2 R$ est ici la plus directe, puisque $\omega$ vient d'être calculée :

a = \omega^2 R = (1{,}08 \times 10^{-3})^2 \times 7{,}0 \times 10^6 \approx 8{,}2\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}

Elle est dirigée selon $\vec{u}_N$ , vers le centre de la Terre, et sa norme est constante. On remarquera qu'elle est du même ordre que $g$ au sol : ce n'est pas une coïncidence, et le chapitre 3 montrera que cette accélération est le champ de gravitation à cette altitude.

À retenir

Flashcards · 5 cartes

Que faut-il préciser avant toute description d'un mouvement ?: Le référentiel. Un mouvement n'existe que relativement à un référentiel : immobile dans le wagon, à 200 km/h dans le référentiel du sol — les deux descriptions sont exactes.
Comment passe-t-on de la position à l'accélération ?: Par deux dérivations successives par rapport au temps, composante par composante. Inversement, deux intégrations, dont les constantes SONT les conditions initiales.
Quand utiliser v² − v₀² = 2a(x − x₀) ?: Quand l'énoncé ne donne aucune durée. Cette relation est l'élimination de t entre les deux équations horaires : elle relie vitesses et distance sans le temps.
Un mouvement uniformément varié est-il forcément accéléré ?: Non. Il est accéléré si v et a ont le même sens, retardé s'ils sont opposés — et il peut passer de l'un à l'autre sans que a change, comme un objet lancé vers le haut.
Quelle est l'accélération d'un mouvement circulaire uniforme ?: a = v²/R = ω²R, dirigée selon la normale, VERS LE CENTRE. Elle n'est jamais nulle bien que la norme de la vitesse soit constante, et jamais centrifuge.