Dynamique et lois de Newton

Le chapitre précédent décrivait des mouvements. Celui-ci les explique : il relie ce que subit un corps à la façon dont son mouvement change. Une seule relation porte tout le chapitre, et elle tient en cinq symboles.

Le point qu'il faut installer d'emblée, parce qu'il est contre-intuitif et qu'il conditionne tout : une force ne maintient pas un mouvement, elle le modifie. Un corps qui avance sans force continue d'avancer. L'intuition dit le contraire, parce que sur Terre les frottements sont partout — et c'est justement ce que Newton a dû écarter pour voir la loi.

Les trois lois de Newton

Première loi — le principe d'inertie. Dans un référentiel galiléen, un solide isolé ou pseudo-isolé (soumis à des forces qui se compensent) est immobile ou animé d'un mouvement rectiligne uniforme, et réciproquement.

La réciproque est la moitié utile en exercice : si l'énoncé affirme que le mouvement est rectiligne uniforme, on sait que la somme des forces est nulle, sans rien calculer.

Deuxième loi — le théorème du centre d'inertie.

Une égalité vectorielle, donc deux équations scalaires dans le plan. Elle dit que l'accélération est colinéaire et de même sens que la résultante des forces, et que la masse mesure la résistance à ce changement — c'est l'inertie.

Troisième loi — actions réciproques. Si $A$ exerce sur $B$ la force $\vec{F}_{A \to B}$, alors $B$ exerce sur $A$ la force

Ces deux forces sont opposées mais s'appliquent à des corps différents : elles ne se compensent jamais entre elles. C'est l'erreur classique du chapitre — écrire que le poids et la réaction du sol forment un couple action-réaction. Ils s'appliquent tous deux au même corps, ce ne peut pas être le cas.

Les forces usuelles

Deux remarques qui reviennent en correction. La réaction normale n'est pas égale au poids en général : elle ne l'est que sur un plan horizontal sans autre force verticale. Sur un plan incliné, $N = mg\cos\alpha$, et dans un ascenseur qui accélère, $N \neq mg$. Et le frottement n'a pas de valeur propre : c'est la réaction du support qui se décompose en une composante normale et une composante tangentielle, la seconde étant liée à la première par $\mu$.

La méthode — quatre étapes, toujours les mêmes

C'est la partie du chapitre qui se travaille comme un réflexe, parce qu'elle vaut pour absolument tous les exercices, y compris ceux du chapitre suivant.

1. Définir le système — le corps qu'on étudie, et lui seul. L'écrire noir sur blanc.
2. Choisir le référentiel et le déclarer galiléen.
3. Faire le bilan des forces extérieures, et les dessiner sur un schéma.
4. Appliquer $\sum \vec{F} = m\vec{a}$, puis projeter sur les axes.

L'étape 1 est celle qu'on croit inutile et qui décide de tout. Dans un problème à deux corps reliés par un fil, on écrit deux théorèmes, un par système, et la tension du fil apparaît dans les deux avec des signes opposés — c'est ce qui permet de l'éliminer. Étudier « le système des deux corps » d'un seul coup fait disparaître la tension, ce qui est parfois commode et parfois exactement ce qu'on cherchait.

L'étape 4 mérite un mot sur le choix des axes. On oriente toujours un axe dans le sens du mouvement présumé : les projections y sont positives, et le signe du résultat devient interprétable. Un axe choisi au hasard donne des résultats corrects mais illisibles.

Le plan incliné, cas d'école

Un solide de masse $m$ sur un plan incliné d'angle $\alpha$. On prend l'axe $x$ le long de la pente, orienté vers le bas, et l'axe $y$ perpendiculaire au plan.

Le poids est la seule force à projeter réellement, et c'est là que se joue l'exercice :

Le sinus va avec la composante le long de la pente. L'inverser est l'erreur la plus fréquente du chapitre, et elle se détecte en une seconde par un cas limite : pour $\alpha = 90°$, le plan est vertical, la composante le long de la pente doit valoir $mg$ tout entier — et $\sin 90° = 1$. Ce contrôle vaut mieux qu'un moyen mnémotechnique.

La projection du théorème donne alors, avec frottement :

La masse a disparu. Ce n'est pas un accident de calcul : c'est la raison pour laquelle deux corps de masses différentes glissent de la même manière, et un test immédiat de la validité d'une projection. Si $m$ subsiste dans une accélération de glissement, il y a une erreur en amont.

Systèmes reliés

Deux solides $A$ et $B$ reliés par un fil inextensible de masse négligeable, passant sur une poulie idéale. Deux propriétés font tout le travail :

• le fil étant inextensible, les deux corps ont la même accélération en norme ;
• le fil et la poulie étant sans masse, la tension est la même à ses deux extrémités.

On écrit alors un théorème par corps, en orientant chaque axe dans le sens du mouvement de son corps, puis on additionne les deux équations : la tension s'élimine, l'accélération tombe. La tension se récupère ensuite en reportant dans l'une des deux.

C'est le seul montage du programme où l'on manipule deux systèmes à la fois, et il n'est difficile que si l'on saute l'étape 1 de la méthode.

À vous

// Un solide de masse m glisse sur un plan incliné d'angle alpha,
// avec un frottement de coefficient f. On cherche l'accélération.
const g = 9.8;

// Le repère est choisi AVEC l'axe x le long de la pente, orienté
// vers le bas : c'est ce choix qui rend la projection simple.
//
//   - poids       : composante -mg sin(alpha) sur x ... au signe près
//   - réaction    : perpendiculaire au plan, donc nulle sur x
//   - frottement  : opposé au mouvement, de norme f × N

const acceleration = (alpha, f) => 0;  // à corriger

const rad = (d) => (d * Math.PI) / 180;

console.log(acceleration(rad(30), 0).toFixed(2));    // attendu : 4.90
console.log(acceleration(rad(30), 0.2).toFixed(2));  // attendu : 3.20
console.log(acceleration(rad(90), 0).toFixed(2));    // attendu : 9.80

// La masse n'apparaît nulle part dans le résultat. Vérifiez-le en
// relisant votre expression : si m y figure encore, la projection
// est fausse.

const g = 9.8;

// Projection du théorème du centre d'inertie sur les DEUX axes.
//
//   sur y (perpendiculaire au plan) : N - mg cos(alpha) = 0
//                                     donc N = mg cos(alpha)
//   sur x (le long de la pente)     : mg sin(alpha) - f N = m a
//
// On substitue N, et m se simplifie : c'est la raison pour
// laquelle deux corps de masses différentes glissent identiquement.
const acceleration = (alpha, f) => g * (Math.sin(alpha) - f * Math.cos(alpha));

const rad = (d) => (d * Math.PI) / 180;

console.log(acceleration(rad(30), 0).toFixed(2));    // 4.90
console.log(acceleration(rad(30), 0.2).toFixed(2));  // 3.20
console.log(acceleration(rad(90), 0).toFixed(2));    // 9.80 — chute libre,
                                                     // le plan est vertical

// L'angle limite d'équilibre : en deçà, le solide ne démarre pas,
// le frottement compense exactement la composante du poids.
const angleLimite = (f) => (Math.atan(f) * 180) / Math.PI;
console.log(angleLimite(0.2).toFixed(1));            // 11.3 degrés
console.log(acceleration(rad(11.3), 0.2).toFixed(3)); // ~0.000

Un exercice de bac

À retenir