Mouvements dans un champ uniforme

Ce chapitre est le plus rentable de l'épreuve : un exercice de physique sur deux en vient. Il le doit à une particularité rare — quatre situations qui n'ont rien à voir entre elles relèvent du même calcul.

Un champ est dit uniforme lorsqu'il a même direction, même sens et même valeur en tout point d'une région. La force qu'il exerce est alors constante, donc l'accélération aussi, et le mouvement s'obtient en intégrant deux fois. Chute d'un corps, tir d'un projectile, déviation d'un électron dans un tube cathodique : trois énoncés, une seule méthode.

Le seul cas qui échappe à ce schéma est le champ magnétique, et pour une raison précise que l'on verra : sa force dépend de la vitesse, donc l'accélération n'y est pas constante.

Chute libre et projectile

Un corps est en chute libre lorsque le poids est la seule force qui s'exerce sur lui — la résistance de l'air étant négligée. Le théorème du centre d'inertie donne alors $m\vec{g} = m\vec{a}$, d'où

La masse disparaît. Tous les corps tombent identiquement, quelle que soit leur masse : c'est le résultat de Galilée, et il est ici une conséquence d'une simplification algébrique.

Avec un repère dont l'axe $y$ est vertical ascendant et un lancer de vitesse $v_0$ inclinée de $\alpha$ :

Ces deux colonnes sont indépendantes. Le mouvement horizontal est uniforme, le mouvement vertical est une chute libre, et ils se déroulent en parallèle sans jamais s'influencer. Un projectile lancé horizontalement et une bille lâchée au même instant touchent le sol ensemble — l'animation ci-dessous le rend visible mieux qu'aucun raisonnement.

En éliminant $t$ entre les deux équations horaires, on obtient l'équation de la trajectoire :

Une parabole. Ce n'est pas une observation expérimentale, c'est une conséquence : le temps éliminé entre une fonction affine et une fonction du second degré ne peut donner que cela.

Trois grandeurs se demandent presque systématiquement, et aucune ne s'apprend par cœur — chacune se retrouve en deux lignes.

La portée est maximale pour $\alpha = 45°$, et deux angles complémentaires donnent la même portée — $30°$ et $60°$ atteignent la même cible, l'un par un tir tendu, l'autre en cloche.

Particule chargée dans un champ électrique uniforme

Entre deux plaques parallèles portées à une tension $U$ et distantes de $d$, le champ est uniforme, dirigé de la plaque positive vers la négative, de valeur

Une particule de charge $q$ y subit la force électrique $\vec{F} = q\vec{E}$. Le poids est systématiquement négligé devant elle — pour un électron, le rapport est de l'ordre de $10^{13}$, et l'énoncé demande souvent de le justifier par ce calcul.

L'accélération est constante : on est exactement dans le cas du projectile, avec $q E / m$ à la place de $g$. Toutes les formules précédentes se transposent, y compris l'équation de la trajectoire parabolique.

Deux dispositifs reviennent :

L'accélération, lorsque $\vec{E}$ est parallèle à la vitesse. Le théorème de l'énergie cinétique donne directement la vitesse de sortie, sans passer par les équations horaires :

La déviation, lorsque $\vec{E}$ est perpendiculaire à la vitesse d'entrée. La particule décrit une parabole dans les plaques, puis une droite au-delà — plus aucune force ne s'y exerce. C'est le principe de l'oscilloscope, et l'énoncé demande presque toujours la déviation sur l'écran, qui se calcule en prolongeant la tangente à la sortie des plaques.

Le signe de $q$ décide du sens de la déviation : un électron, de charge négative, est dévié vers la plaque positive, en sens inverse du champ.

Particule chargée dans un champ magnétique

C'est le point qui coince, chaque année, et la difficulté est géométrique avant d'être physique. La force de Lorentz s'écrit

Un produit vectoriel : le résultat est perpendiculaire aux deux vecteurs de départ. Sa norme vaut $|q|\,v\,B\sin\theta$, maximale quand $\vec{v}$ et $\vec{B}$ sont perpendiculaires, nulle quand ils sont colinéaires — une particule lancée le long des lignes de champ n'est pas déviée du tout.

Le conseil qui fait la différence : dessiner systématiquement le trièdre. Trois doigts de la main droite, orthogonaux, dans l'ordre $\vec{v}$, $\vec{B}$, $\vec{F}$ ; puis inverser le sens de $\vec{F}$ si la charge est négative. Tant que le trièdre n'est pas sur le papier, le calcul se fait à l'aveugle.

Deux conséquences immédiates, et elles ne se démontrent pas autrement :

La force ne travaille jamais. Étant perpendiculaire à la vitesse, sa puissance $\vec{F} \cdot \vec{v}$ est nulle. La norme de la vitesse est donc constante : un champ magnétique dévie, il n'accélère ni ne ralentit jamais. C'est ce qui le distingue radicalement du champ électrique, et l'énoncé le vérifie souvent par une question de cours.

Le mouvement est circulaire uniforme lorsque $\vec{v}$ est perpendiculaire à $\vec{B}$. La force, de norme constante $|q|vB$ et toujours perpendiculaire à la vitesse, est centripète. En égalant à $mv^2/R$ :

Le rayon croît avec la vitesse et décroît avec le champ. La période, elle, ne dépend pas de la vitesse :

C'est la propriété qui rend le cyclotron possible : une particule qui accélère décrit des cercles de plus en plus grands mais met toujours le même temps à en faire un tour, si bien qu'une tension alternative de période fixe peut l'accélérer à chaque passage.

Gravitation, satellites et lois de Kepler

Deux corps de masses $m_A$ et $m_B$ dont les centres sont distants de $r$ s'attirent avec une force de norme

Le champ de gravitation créé par un astre de masse $M$ à la distance $r$ de son centre vaut $\mathcal{G} = GM/r^2$. Au voisinage du sol, ce champ est $\vec{g}$ : l'intensité de la pesanteur n'est pas une constante donnée, c'est la valeur locale du champ de gravitation.

Pour un satellite en orbite circulaire, la gravitation est la seule force et elle est centripète. En l'égalant à $mv^2/r$, la masse du satellite se simplifie — encore une fois — et il vient

La vitesse ne dépend pas de la masse du satellite : un boulon et une station spatiale sur la même orbite ont la même vitesse. Et plus l'orbite est haute, plus le satellite est lent, ce qui heurte l'intuition mais se lit directement dans la formule.

En élevant la période au carré, on obtient la troisième loi de Kepler :

Le rapport ne dépend que de l'astre central. Deux satellites de la Terre vérifient donc $T_1^{\,2}/r_1^{\,3} = T_2^{\,2}/r_2^{\,3}$, ce qui permet de déduire l'un de l'autre sans connaître $G$ ni $M$ — c'est l'usage qu'en fait presque tout énoncé.

Le satellite géostationnaire est le cas particulier obligé : il paraît fixe au-dessus d'un point de l'équateur, donc sa période vaut exactement un jour sidéral ($T = 86\,164$ s), son orbite est équatoriale, et son rayon s'en déduit — environ $42\,200$ km depuis le centre de la Terre, soit $35\,800$ km d'altitude.

À vous

// Un projectile est lancé depuis le sol avec la vitesse v0,
// sous l'angle alpha (en degrés) au-dessus de l'horizontale.
const g = 9.8;
const rad = (d) => (d * Math.PI) / 180;

// 1. Les trois grandeurs qu'un énoncé demande presque toujours.
const duree = (v0, alpha) => 0;   // durée totale du vol
const portee = (v0, alpha) => 0;  // distance au point de chute
const fleche = (v0, alpha) => 0;  // altitude maximale

console.log(duree(20, 50).toFixed(2));    // attendu : 3.13
console.log(portee(20, 50).toFixed(1));   // attendu : 40.2
console.log(fleche(20, 50).toFixed(1));   // attendu : 12.0

// 2. Deux angles différents donnent la MÊME portée. Trouvez lequel
//    accompagne 50°, et vérifiez-le.
console.log(portee(20, 40).toFixed(1));   // ?

// 3. Quel angle maximise la portée ? Balayez et lisez le résultat.

Deux exercices de bac

À retenir