Physique · C1 Mécanique · Chapitre 4 · 7 h

Énergie et oscillateurs

Travail, puissance, énergies cinétique et potentielle, conservation de l'énergie mécanique, puis l'oscillateur harmonique : pendule élastique, pendule simple, période propre.

Les deux chapitres précédents résolvaient les problèmes par les forces : bilan, projection, équations horaires. Ce chapitre en propose une seconde voie, qui ne remplace pas la première mais la court-circuite dans un cas précis — lorsque l'énoncé demande une vitesse à une position donnée sans rien dire du temps.

L'approche énergétique ignore le détail du trajet. Elle ne dit pas quand le mobile arrive, elle dit à quelle vitesse. Savoir laquelle des deux méthodes employer est, en soi, une compétence évaluée.

Travail et puissance

Le travail d'une force constante sur un déplacement $\overrightarrow{AB}$ est le produit scalaire

W_{AB}(\vec{F}) = \vec{F} \cdot \overrightarrow{AB} = F \times AB \times \cos\theta

Il s'exprime en joules. Le cosinus décide de son signe, et c'est tout ce qu'il faut retenir :

$\theta$ aigu, travail moteur, positif — la force aide au déplacement ;
$\theta$ droit, travail nul — c'est le cas de la réaction normale et de la force de Lorentz, qui ne travaillent jamais ;
$\theta$ obtus, travail résistant, négatif — le frottement, toujours.

Le travail du poids mérite une place à part :

W(\vec{P}) = \pm\,m\,g\,h

positif à la descente, négatif à la montée, où $h$ est la dénivellation verticale. Le chemin suivi n'intervient pas : monter par un escalier ou par une rampe coûte le même travail au poids. Une force dont le travail ne dépend que des positions de départ et d'arrivée est dite conservative, et c'est à ces forces seulement qu'on peut associer une énergie potentielle.

La puissance est le débit du travail : $\mathcal{P} = W / \Delta t$ , en watts, ou $\mathcal{P} = \vec{F} \cdot \vec{v}$ pour la puissance instantanée.

Le théorème de l'énergie cinétique

L'énergie cinétique d'un solide en translation vaut $E_c = \tfrac{1}{2}mv^2$ , et le théorème s'énonce ainsi : dans un référentiel galiléen, la variation d'énergie cinétique entre deux instants est égale à la somme des travaux de toutes les forces extérieures.

\Delta E_c = \tfrac{1}{2}mv_B^{\,2} - \tfrac{1}{2}mv_A^{\,2} = \sum W_{AB}(\vec{F}_{\text{ext}})

Une équation scalaire, sans projection ni repère : c'est là tout son intérêt. Elle donne une vitesse en une ligne là où les équations horaires en demandent cinq — à condition que le temps ne figure ni dans les données ni dans la question.

Le mot toutes est le piège de l'énoncé. Oublier le travail résistant du frottement donne une vitesse trop grande, et l'erreur ne se voit pas dans le résultat.

Quiz · 1 question

Un solide glisse d'une hauteur h sur un toboggan courbe, sans frottement. De quoi dépend sa vitesse en bas ?

De la hauteur h et de la forme du toboggan — forme comprise
De la hauteur h seulement — hauteur seule
De la hauteur h et de la masse du solide — masse comprise

Réponse : Le travail du poids ne dépend que de la dénivellation, la réaction normale ne travaille pas, et la masse se simplifie dans ½mv² = mgh. Il reste v = √(2gh) : ni la forme du toboggan ni la masse n'interviennent.

Énergies potentielles et énergie mécanique

À chaque force conservative correspond une énergie potentielle, définie à une constante près — d'où l'obligation de choisir une origine et de l'annoncer.

E_{pp} = m\,g\,z \quad (\text{origine à choisir}) \qquad\qquad E_{pe} = \tfrac{1}{2}k\,x^2 \quad (\text{$x$ mesuré depuis la position à vide})

L'énergie mécanique est leur somme avec l'énergie cinétique :

E_m = E_c + E_p

Elle se conserve lorsque les seules forces qui travaillent sont conservatives. Sinon, sa variation est égale au travail des forces non conservatives :

\Delta E_m = W(\vec{f}_{\text{frottement}}) \leqslant 0

C'est la formulation la plus utile de tout le chapitre pour les exercices avec frottement : elle donne directement l'énergie dissipée, sans qu'on ait à connaître le détail de la trajectoire.

L'oscillateur harmonique

Un pendule élastique : un solide de masse $m$ accroché à un ressort de raideur $k$ , glissant sans frottement sur un plan horizontal. On repère sa position par l'écart $x$ à la position d'équilibre.

La seule force horizontale est la tension du ressort, $F = -kx$ — le signe négatif dit l'essentiel : elle est toujours dirigée vers la position d'équilibre, c'est une force de rappel. Le théorème du centre d'inertie projeté donne

-k\,x = m\,\ddot{x} \qquad\Longleftrightarrow\qquad \ddot{x} + \frac{k}{m}\,x = 0

C'est l'équation différentielle $y'' + \omega^2 y = 0$ rencontrée en mathématiques, dont les solutions sont

x(t) = X_m\cos\!\left(\omega_0 t + \varphi\right) \qquad\text{avec}\qquad \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}

$X_m$ est l'amplitude et $\varphi$ la phase à l'origine : deux constantes fixées par les conditions initiales, position et vitesse à $t = 0$ . La période propre s'en déduit :

T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}

Trois remarques que l'énoncé teste régulièrement. La période ne dépend pas de l'amplitude — c'est l'isochronisme des oscillations, et c'est ce qui rend un oscillateur utilisable comme horloge. Elle ne dépend pas non plus des conditions initiales. Et elle croît avec la masse mais décroît avec la raideur, ce qui se contrôle par le bon sens : une masse lourde sur un ressort mou oscille lentement.

Énergétiquement, l'oscillateur échange en permanence énergie cinétique et énergie potentielle élastique, à somme constante :

E_m = \tfrac{1}{2}mv^2 + \tfrac{1}{2}kx^2 = \tfrac{1}{2}k\,X_m^{\,2} = \text{constante}

La dernière égalité s'obtient en se plaçant aux élongations extrêmes, où la vitesse est nulle. Elle donne la vitesse maximale sans aucune dérivation : au passage par l'équilibre, toute l'énergie est cinétique, donc $v_{\max} = X_m\sqrt{k/m} = \omega_0 X_m$ .

Quiz · 1 question

On double l'amplitude des oscillations d'un pendule élastique. Que devient sa période propre ?

Elle double — proportionnelle
Elle est inchangée — isochrone
Elle est multipliée par √2 — racine

Réponse : T₀ = 2π√(m/k) ne contient ni l'amplitude ni les conditions initiales. C'est l'isochronisme des oscillations : le mobile parcourt un trajet deux fois plus long, mais à des vitesses deux fois plus grandes. L'énergie, elle, est bien quadruplée.

Le pendule simple

Une masse ponctuelle au bout d'un fil inextensible de longueur $L$ et de masse négligeable. Pour de petites oscillations — l'approximation $\sin\theta \approx \theta$ , valable en radians jusqu'à une dizaine de degrés — l'équation prend la même forme que précédemment :

\ddot{\theta} + \frac{g}{L}\,\theta = 0 \qquad\Longrightarrow\qquad T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}

La masse a disparu, encore. Deux pendules de même longueur battent la même seconde, qu'ils portent une bille de plomb ou de liège.

Cette formule s'inverse en

g = \frac{4\pi^2 L}{T_0^{\,2}}

et c'est le TP à préserver quand le matériel manque : un fil, une masse, un mètre et un chronomètre suffisent à mesurer l'intensité de la pesanteur à quelques pour cent près. Le protocole impose de chronométrer 20 oscillations plutôt qu'une seule — le retard de réaction est alors divisé par vingt, et l'exercice ci-dessous en donne la mesure chiffrée.

À vous

Exercice de code

Déduisez g de mesures de période, puis montrez chiffres à l'appui pourquoi le protocole impose de chronométrer 20 oscillations.

Point de départ

// Le TP de référence : on mesure la durée de 20 oscillations
// d'un pendule simple, pour plusieurs longueurs, et on en déduit g.
const mesures = [
  { L: 0.20, t20: 17.9 },
  { L: 0.40, t20: 25.4 },
  { L: 0.60, t20: 31.1 },
  { L: 0.80, t20: 35.9 },
  { L: 1.00, t20: 40.1 },
];

// 1. La période propre, puis g tiré de T = 2*pi*sqrt(L/g).
const periode = (m) => 0;   // à corriger
const gMesure = (m) => 0;   // à corriger

for (const m of mesures) {
  console.log(m.L, periode(m).toFixed(3), gMesure(m).toFixed(2));
}

// attendu, dernière colonne : autour de 9.8 pour chaque ligne

// 2. Pourquoi chronométrer 20 oscillations plutôt qu'une seule ?
//    Simulez une erreur de réaction de 0.2 s sur le chronomètre
//    et comparez l'erreur commise sur g dans les deux cas.

Solution

const mesures = [
  { L: 0.20, t20: 17.9 },
  { L: 0.40, t20: 25.4 },
  { L: 0.60, t20: 31.1 },
  { L: 0.80, t20: 35.9 },
  { L: 1.00, t20: 40.1 },
];

const periode = (m) => m.t20 / 20;

// T = 2*pi*sqrt(L/g) s'inverse en g = 4*pi²*L / T². C'est
// l'intérêt du pendule : g n'est pas mesuré directement, il est
// DÉDUIT d'une longueur et d'une durée, deux grandeurs qu'on sait
// mesurer précisément avec un mètre et un chronomètre.
const gMesure = (m) => (4 * Math.PI ** 2 * m.L) / periode(m) ** 2;

for (const m of mesures) {
  console.log(m.L, periode(m).toFixed(3), gMesure(m).toFixed(2));
}
// 0.2 0.895 9.86 | 0.4 1.270 9.79 | 0.6 1.555 9.80
// 0.8 1.795 9.80 | 1   2.005 9.82

// Chronométrer N oscillations divise l'erreur par N : le retard de
// réaction est le même, mais il est réparti sur 20 périodes.
const gAvecErreur = (m, dt, n) =>
  (4 * Math.PI ** 2 * m.L) / ((m.t20 * (n / 20) + dt) / n) ** 2;

const m = mesures[4];
console.log(gMesure(m).toFixed(2));                 // 9.82 — la référence
console.log(gAvecErreur(m, 0.2, 1).toFixed(2));     // 8.14 — 17 % d'écart
console.log(gAvecErreur(m, 0.2, 20).toFixed(2));    // 9.63 — 2 % d'écart

// Un seul geste de protocole, et l'erreur est divisée par vingt.
// C'est la leçon du TP, autant que la valeur de g.

Un exercice de bac

Exercice 1

Un solide lancé sur une piste avec frottement

Un solide de masse $m = 500$ g est lancé au point $A$ avec une vitesse $v_A = 5{,}0$ m/s sur une piste horizontale $AB$ de longueur $\ell = 3{,}0$ m, où il subit un frottement constant d'intensité $f = 1{,}2$ N. En $B$ , il aborde une portion circulaire sans frottement et s'élève jusqu'à un point $C$ où sa vitesse s'annule. On prend $g = 9{,}8$ m/s².

Calculer la vitesse en $B$ .
Calculer la hauteur $h$ du point $C$ au-dessus de la piste.
L'énergie mécanique s'est-elle conservée entre $A$ et $C$ ? Quantifier.

Correction

1. Sur $AB$ , le poids et la réaction normale sont perpendiculaires au déplacement : leur travail est nul. Seul le frottement travaille, et son travail est résistant. Le théorème de l'énergie cinétique donne

\tfrac{1}{2}mv_B^{\,2} - \tfrac{1}{2}mv_A^{\,2} = -f\,\ell

v_B^{\,2} = v_A^{\,2} - \frac{2f\ell}{m} = 25 - \frac{2 \times 1{,}2 \times 3{,}0}{0{,}500} = 25 - 14{,}4 = 10{,}6

d'où $v_B \approx 3{,}3$ m/s.

2. Sur $BC$ il n'y a plus de frottement : l'énergie mécanique se conserve. En prenant l'origine des énergies potentielles au niveau de la piste, et sachant que la vitesse est nulle en $C$ :

\tfrac{1}{2}mv_B^{\,2} = m\,g\,h \qquad\Longrightarrow\qquad h = \frac{v_B^{\,2}}{2g} = \frac{10{,}6}{19{,}6} \approx 0{,}54\ \text{m}

La masse se simplifie : la hauteur atteinte ne dépend que de la vitesse en $B$ .

3. Non, et l'écart se lit directement. L'énergie mécanique initiale vaut $\tfrac{1}{2} \times 0{,}500 \times 25 = 6{,}25$ J ; l'énergie finale, en $C$ , vaut $mgh = 0{,}500 \times 9{,}8 \times 0{,}54 \approx 2{,}65$ J.

\Delta E_m \approx -3{,}6\ \text{J} = -f\,\ell = -1{,}2 \times 3{,}0

L'énergie perdue est exactement le travail du frottement, dissipé en chaleur sur $AB$ . C'est le contrôle qui valide toute la copie : si les deux nombres ne coïncident pas, une erreur s'est glissée en amont.

À retenir

Flashcards · 6 cartes

Quand employer le théorème de l'énergie cinétique plutôt que les équations horaires ?: Quand l'énoncé demande une vitesse à une position donnée, sans faire intervenir le temps. C'est une équation scalaire, sans projection : une ligne au lieu de cinq.
De quoi dépend le travail du poids ?: De la seule dénivellation verticale : W = ±mgh, quel que soit le chemin suivi. C'est ce qui en fait une force conservative, et ce qui permet de lui associer une énergie potentielle.
Que devient l'énergie mécanique en présence de frottement ?: Elle diminue, et sa variation est égale au travail des forces non conservatives : ΔE_m = W(f) ≤ 0. C'est la façon la plus rapide de calculer l'énergie dissipée.
Quelle équation différentielle régit un pendule élastique, et quelle est sa solution ?: ẍ + (k/m)x = 0, dont les solutions sont x = X_m·cos(ω₀t + φ) avec ω₀ = √(k/m). Amplitude et phase viennent des conditions initiales.
La période d'un oscillateur dépend-elle de l'amplitude ?: Non — c'est l'isochronisme des oscillations. T₀ = 2π√(m/k) ne contient ni l'amplitude ni les conditions initiales, et c'est ce qui rend un oscillateur utilisable comme horloge.
Comment mesure-t-on g avec un pendule simple ?: En inversant T₀ = 2π√(L/g) : g = 4π²L/T₀². On chronomètre 20 oscillations pour diviser par vingt l'erreur de réaction — un fil, une masse, un mètre et un chronomètre suffisent.