Physique · C2 Électromagnétisme · Chapitre 2 · 8 h

Induction électromagnétique

Flux magnétique, loi de Lenz-Faraday, force électromotrice induite, auto-induction et énergie d'une bobine.

Le chapitre précédent partait d'un courant pour obtenir une force. Celui-ci fait le chemin inverse : à partir d'un mouvement, ou d'un champ qui varie, il fabrique un courant. C'est le phénomène sur lequel repose toute la production d'électricité — sans lui, ni alternateur, ni transformateur, ni recharge sans contact.

Une seule idée le porte, et elle est plus subtile qu'il n'y paraît : ce n'est pas le champ magnétique qui crée un courant, c'est sa variation.

Le flux magnétique

Le flux à travers une surface plane $S$ dont la normale fait l'angle $\theta$ avec $\vec{B}$ vaut

\Phi = B\,S\,\cos\theta \qquad\text{en webers (Wb)}

et $N\,B\,S\cos\theta$ pour une bobine de $N$ spires. Le flux mesure, intuitivement, le nombre de lignes de champ qui traversent la surface : maximal quand la surface leur est perpendiculaire ( $\theta = 0$ ), nul quand elle leur est parallèle ( $\theta = 90°$ ), et le cosinus fait le lien.

De cette écriture découlent les trois façons de faire varier un flux, et tout exercice du chapitre en exploite une :

faire varier $B$ — approcher un aimant, alimenter un électroaimant en courant variable ;
faire varier $S$ — déformer un circuit, déplacer une barre sur des rails ;
faire varier $\theta$ — faire tourner une bobine dans un champ fixe.

Le troisième cas est celui de l'alternateur, et il produit une tension sinusoïdale par la seule vertu du cosinus.

Les deux lois de l'induction

La loi de Lenz donne le sens, et elle s'énonce en une phrase : le courant induit s'oppose, par ses effets, à la cause qui lui a donné naissance.

C'est une loi qualitative, mais c'est elle qui répond à la question posée en copie. Si l'on approche le pôle nord d'un aimant d'une bobine, le courant induit s'établit de manière à créer une face nord en regard — pour repousser l'aimant. On l'éloigne : le courant s'inverse pour l'attirer et le retenir. Le courant induit freine toujours ce qui le crée, et c'est ce qui rend l'induction compatible avec la conservation de l'énergie : il faut fournir un travail mécanique pour produire de l'électricité.

La loi de Faraday donne la valeur :

e = -\frac{d\Phi}{dt}

Le signe moins est la loi de Lenz, écrite mathématiquement. La force électromotrice induite $e$ s'exprime en volts, et elle est d'autant plus grande que le flux varie vite — non qu'il soit grand.

C'est la confusion centrale du chapitre : un flux énorme mais constant ne produit aucune tension, tandis qu'un flux faible qui s'annule brutalement en produit une considérable. On le vérifie sur l'alternateur, où la f.é.m. est maximale précisément à l'instant où le flux passe par zéro.

Quiz · 1 question

Une bobine est placée dans un champ magnétique intense mais parfaitement constant. Quelle tension apparaît à ses bornes ?

Une tension d'autant plus grande que le champ est intense — proportionnelle à B
Aucune tension — nulle
Une tension constante non nulle — constante

Réponse : e = −dΦ/dt. Un flux constant a une dérivée nulle, donc la f.é.m. est nulle, quelle que soit l'intensité du champ. Ce n'est jamais le flux qui induit, c'est sa VARIATION.

L'alternateur

Une bobine de $N$ spires, de surface $S$ , tournant à la vitesse angulaire $\omega$ dans un champ uniforme $B$ . L'angle vaut $\theta = \omega t$ , donc

\Phi(t) = N\,B\,S\cos(\omega t) \qquad\Longrightarrow\qquad e(t) = N\,B\,S\,\omega\,\sin(\omega t)

Une rotation uniforme produit une tension sinusoïdale. C'est de là — et non d'un choix technique arbitraire — que vient le courant alternatif du chapitre suivant : c'est la forme que prend naturellement l'électricité produite par une machine tournante.

L'amplitude $E_m = NBS\omega$ croît avec la vitesse de rotation : un alternateur qui tourne plus vite délivre une tension plus élevée et de fréquence plus haute, ce qui explique la régulation stricte de la vitesse des alternateurs d'une centrale.

Auto-induction

Une bobine parcourue par un courant crée son propre champ, donc son propre flux à travers elle-même. Si le courant varie, ce flux varie, et la bobine induit en elle-même une f.é.m. qui s'oppose à cette variation.

\Phi_{\text{propre}} = L\,i \qquad\Longrightarrow\qquad e = -L\,\frac{di}{dt}

Le coefficient $L$ est l'inductance, en henrys (H). Elle ne dépend que de la géométrie de la bobine et du milieu, jamais du courant.

La conséquence pratique est visible : une bobine s'oppose aux variations brutales de courant. À la fermeture d'un circuit, le courant s'établit progressivement ; à l'ouverture, la bobine tente de le maintenir, ce qui provoque l'étincelle bien connue à l'interrupteur. Une bobine est, pour le courant, ce que l'inertie est pour la vitesse.

Elle emmagasine pour cela une énergie :

E = \tfrac{1}{2}L\,i^2

à comparer terme à terme avec $\tfrac{1}{2}mv^2$ — l'analogie est exacte, et elle aide à retenir laquelle des deux formules porte le facteur un demi.

Le transformateur, et les courants de Foucault

Deux bobines enroulées sur un même circuit magnétique : le primaire, alimenté en alternatif, crée un flux variable ; le secondaire, traversé par ce flux, voit apparaître une f.é.m. Le rapport des tensions est celui des nombres de spires.

\frac{U_2}{U_1} = \frac{N_2}{N_1}

Un transformateur ne fonctionne qu'en alternatif : en continu, le flux serait constant et rien ne serait induit. C'est la raison technique pour laquelle le transport de l'électricité se fait en alternatif — élever la tension pour limiter les pertes par effet Joule, puis l'abaisser à l'arrivée, n'est possible que sous cette forme.

Dans une masse métallique soumise à un flux variable, les courants induits circulent en boucles fermées : ce sont les courants de Foucault. Ils dissipent de l'énergie par effet Joule — nuisible dans un transformateur, où l'on feuillette le noyau pour les limiter ; utile dans le freinage électromagnétique des poids lourds, où l'on cherche justement à convertir l'énergie cinétique en chaleur sans contact ni usure.

Quiz · 1 question

Pourquoi un transformateur ne fonctionne-t-il pas en courant continu ?

Parce que la résistance des bobines est trop grande — résistance
Parce que le flux serait constant, donc sa dérivée nulle : rien n'est induit — flux constant
Parce que le noyau de fer saturerait — saturation

Réponse : Toute l'induction repose sur dΦ/dt. Un courant continu crée un flux constant au primaire, donc aucune f.é.m. au secondaire. C'est la raison pour laquelle le réseau de distribution est alternatif.

À vous

Exercice de code

Écrivez le flux à travers une bobine tournante, dérivez-le numériquement puis à la main, et vérifiez que la f.é.m. est maximale là où le flux s'annule.

Point de départ

// Une bobine plate de N spires, de surface S, tourne à la vitesse
// angulaire omega dans un champ magnétique uniforme B.
// C'est le principe de l'alternateur.
const N = 200, S = 2.0e-2, B = 0.15, omega = 314; // rad/s

// 1. Le flux à travers la bobine, à la date t.
const flux = (t) => 0;        // à corriger

// 2. La force électromotrice induite. Faites-la dériver
//    NUMÉRIQUEMENT du flux, puis comparez à l'expression exacte :
//    si les deux coïncident, la loi de Faraday est bien comprise.
const h = 1e-6;
const femNumerique = (t) => 0;  // à corriger, par taux d'accroissement
const femExacte = (t) => 0;     // à corriger, par dérivation à la main

for (const t of [0, 0.005, 0.01]) {
  console.log(femNumerique(t).toFixed(3), femExacte(t).toFixed(3));
}
// les deux colonnes doivent coïncider

// 3. La valeur maximale de la f.é.m., puis sa valeur efficace.

Solution

const N = 200, S = 2.0e-2, B = 0.15, omega = 314;

// Le flux à travers N spires : Phi = N * B * S * cos(theta), avec
// theta = omega*t l'angle entre la normale à la bobine et le champ.
const flux = (t) => N * B * S * Math.cos(omega * t);

// La loi de Faraday : e = -dPhi/dt. Le signe moins EST la loi de
// Lenz — l'induction s'oppose à la cause qui lui donne naissance.
const h = 1e-6;
const femNumerique = (t) => -(flux(t + h) - flux(t - h)) / (2 * h);

// À la main : la dérivée de cos(omega*t) vaut -omega*sin(omega*t),
// et les deux signes moins se compensent.
const femExacte = (t) => N * B * S * omega * Math.sin(omega * t);

for (const t of [0, 0.005, 0.01]) {
  console.log(femNumerique(t).toFixed(3), femExacte(t).toFixed(3));
}
// 0.000 0.000 | 94.198 94.198 | -0.052 -0.052

// Une rotation uniforme produit une f.é.m. SINUSOÏDALE : c'est
// d'ici que vient le courant alternatif du chapitre suivant, et
// non d'un choix technique.
const eMax = N * B * S * omega;
console.log(eMax.toFixed(1));              // 94.2 V
console.log((eMax / Math.SQRT2).toFixed(1)); // 66.6 V efficaces

// Remarquer où la f.é.m. est maximale : en t = 0.005 s, le flux
// passe par ZÉRO. Ce n'est pas le flux qui crée la tension, c'est
// sa VARIATION — la confusion la plus fréquente du chapitre.
console.log(flux(0.005).toExponential(2)); // ~0

Un exercice de bac

Exercice 1

Une barre sur des rails, sans générateur

Une barre conductrice de longueur $\ell = 20$ cm glisse à la vitesse constante $v = 4{,}0$ m/s sur deux rails horizontaux, dans un champ magnétique vertical $B = 0{,}30$ T. Le circuit est fermé sur une résistance $R = 2{,}0\ \Omega$ ; on néglige toute autre résistance.

Exprimer le flux à travers le circuit, puis la f.é.m. induite. Calculer sa valeur.
En déduire l'intensité du courant induit.
Montrer que la barre subit une force qui s'oppose à son mouvement, et calculer sa valeur.

Correction

1. Ici, c'est la surface du circuit qui varie : si $x$ est la position de la barre, la surface vaut $\ell x$ et le champ lui est perpendiculaire.

\Phi = B\,\ell\,x \qquad\Longrightarrow\qquad |e| = \left|\frac{d\Phi}{dt}\right| = B\,\ell\,\frac{dx}{dt} = B\,\ell\,v

|e| = 0{,}30 \times 0{,}20 \times 4{,}0 = 0{,}24\ \text{V}

2. La loi d'Ohm appliquée au circuit :

I = \frac{|e|}{R} = \frac{0{,}24}{2{,}0} = 0{,}12\ \text{A}

3. La barre est maintenant parcourue par un courant et placée dans un champ : elle subit une force de Laplace, de norme

F = B\,I\,\ell = 0{,}30 \times 0{,}12 \times 0{,}20 = 7{,}2 \times 10^{-3}\ \text{N}

Le sens s'obtient sans calcul, par la loi de Lenz : la cause du phénomène est le mouvement de la barre, donc le courant induit s'y oppose, et la force de Laplace est dirigée en sens inverse de la vitesse. Il faut donc exercer une force motrice pour maintenir $v$ constante, et le travail correspondant est exactement l'énergie dissipée dans $R$ — on peut le vérifier : $F\,v = 7{,}2 \times 10^{-3} \times 4{,}0 = 2{,}9 \times 10^{-2}$ W, et $R\,I^2 = 2{,}0 \times 0{,}12^2 = 2{,}9 \times 10^{-2}$ W. L'énergie électrique ne sort pas de nulle part.

À retenir

Flashcards · 6 cartes

Quelles sont les trois façons de faire varier un flux ?: Faire varier B, faire varier la surface S, ou faire varier l'angle θ. Φ = BS·cos θ contient les trois, et tout exercice d'induction en exploite une.
Qu'énonce la loi de Lenz ?: Le courant induit s'oppose par ses effets à la cause qui lui donne naissance. C'est elle qui donne le SENS, et elle garantit la conservation de l'énergie : produire du courant coûte un travail mécanique.
Un flux intense mais constant induit-il une tension ?: Non. e = −dΦ/dt : c'est la VITESSE de variation qui compte, jamais la valeur. Dans un alternateur, la f.é.m. est maximale à l'instant où le flux s'annule.
Pourquoi une rotation uniforme produit-elle une tension sinusoïdale ?: Parce que Φ = NBS·cos(ωt), dont la dérivée est un sinus. Le courant alternatif n'est pas un choix technique : c'est la forme naturelle de ce que produit une machine tournante.
À quoi s'oppose une bobine, et avec quelle énergie ?: Aux variations brutales de courant : e = −L·di/dt. Elle stocke E = ½Li², exactement analogue à ½mv² — la bobine est à l'électricité ce que l'inertie est au mouvement.
Que sont les courants de Foucault ?: Des courants induits en boucles dans une masse métallique soumise à un flux variable. Nuisibles dans un transformateur (on feuillette le noyau), utiles pour le freinage sans contact.