Physique · C2 Électromagnétisme · Chapitre 3 · 9 h

Courant alternatif sinusoïdal

Valeurs efficaces, comportement de R, L et C, circuit RLC série, impédance, déphasage, résonance, facteur de puissance et construction de Fresnel.

Le chapitre précédent a montré d'où vient le courant alternatif : une bobine qui tourne dans un champ produit une tension sinusoïdale, et rien d'autre. Reste à savoir comment un circuit y répond — et la réponse n'est pas celle du continu, parce qu'une bobine et un condensateur, qui ne font rien de particulier sous tension constante, deviennent ici des acteurs à part entière.

C'est aussi le chapitre le plus exigeant du programme sur le plan technique. Il réclame les nombres complexes ou, à défaut, la construction de Fresnel — et c'est elle qui coince chaque année. La raison est identifiable : on la présente comme une figure fixe, alors qu'elle n'a de sens que déformée.

Grandeurs sinusoïdales

Une tension alternative sinusoïdale s'écrit

u(t) = U_m\cos(\omega t + \varphi)

avec $U_m$ l'amplitude, $\omega = 2\pi f$ la pulsation en rad/s, et $\varphi$ la phase à l'origine. La période vaut $T = 2\pi/\omega = 1/f$ .

Les appareils de mesure n'indiquent ni l'amplitude ni la valeur moyenne — qui est nulle — mais la valeur efficace :

U = \frac{U_m}{\sqrt{2}} \qquad\qquad I = \frac{I_m}{\sqrt{2}}

Sa définition est physique et mérite d'être connue : la valeur efficace d'un courant alternatif est l'intensité du courant continu qui dissiperait la même puissance dans la même résistance. C'est pourquoi les $230$ V du secteur sont une valeur efficace, l'amplitude réelle atteignant $325$ V.

Le comportement des trois dipôles

C'est le cœur du chapitre, et il tient en un tableau. Dans un circuit série, l'intensité est la même partout : on la prend comme référence des phases.

Dipôle	Relation	Impédance	Déphasage de $u$ par rapport à $i$
Résistance	$u = R\,i$	$R$	en phase, $\varphi = 0$
Bobine	$u = L\,\dfrac{di}{dt}$	$L\omega$	en avance de $\dfrac{\pi}{2}$
Condensateur	$i = C\,\dfrac{du}{dt}$	$\dfrac{1}{C\omega}$	en retard de $\dfrac{\pi}{2}$

Les deux dernières lignes ne s'apprennent pas isolément : elles se déduisent des relations de définition. Dériver un cosinus donne un sinus, c'est-à-dire un quart de tour d'avance ; intégrer le retarde d'autant. La bobine dérive, le condensateur intègre, et leurs déphasages sont donc opposés — c'est cette opposition qui produira la résonance.

Deux comportements limites en découlent, et ils suffisent souvent à répondre sans calcul :

à basse fréquence, $L\omega \to 0$ (la bobine devient un fil) et $1/C\omega \to \infty$ (le condensateur bloque) ;
à haute fréquence, c'est l'inverse : la bobine bloque, le condensateur laisse passer.

Le circuit RLC série et la construction de Fresnel

Les trois dipôles en série, sous une tension $u$ de pulsation $\omega$ . On représente chaque tension par un vecteur : longueur proportionnelle à la valeur efficace, angle égal au déphasage par rapport à l'intensité.

L'addition des tensions instantanées devient alors une addition vectorielle. Et parce que $\vec{U_L}$ et $\vec{U_C}$ pointent en sens opposés, seule leur différence subsiste : le triangle obtenu est rectangle, et Pythagore donne tout.

Animation · 5 étapes

R = 60 Ω, L = 0,20 H, C = 20 µF, sous 24 V efficaces

Trois tensions, une seule intensité — En série, l'intensité est la même partout : c'est elle qu'on prend comme référence des phases. La tension aux bornes de R est en phase avec elle, celle de la bobine en avance d'un quart de tour, celle du condensateur en retard d'autant.
La somme est vectorielle — On met les trois vecteurs bout à bout. La bobine et le condensateur pointant en sens OPPOSÉS, seule leur différence subsiste — c'est la raison profonde du signe moins dans toutes les formules du chapitre, et ce qu'une addition de nombres ne pourrait pas produire.
Le triangle des impédances — Le triangle obtenu est rectangle : Pythagore donne l'impédance, la tangente donne le déphasage. Ces deux formules ne s'apprennent pas, elles se LISENT sur la figure — et c'est pourquoi il faut la tracer avant de calculer quoi que ce soit.
Balayer la pulsation — On fait croître ω. Le vecteur du condensateur se raccourcit, celui de la bobine s'allonge, et le déphasage passe du négatif au positif : le circuit cesse d'être capacitif pour devenir inductif. L'intensité, elle, passe par un maximum.
La résonance — À la pulsation propre, les deux vecteurs se compensent EXACTEMENT. Il ne reste que U_R : le circuit se comporte comme une simple résistance, la tension est en phase avec l'intensité, et celle-ci est maximale. Remarquez que U_L et U_C dépassent chacune la tension du générateur.

U^2 = U_R^{\,2} + \left(U_L - U_C\right)^2 \qquad\Longrightarrow\qquad Z = \sqrt{R^2 + \left(L\omega - \frac{1}{C\omega}\right)^2}

\tan\varphi = \frac{L\omega - \dfrac{1}{C\omega}}{R} \qquad\qquad \cos\varphi = \frac{R}{Z}

Ces formules ne se retiennent pas, elles se lisent sur la figure — et c'est pourquoi il faut tracer le diagramme avant de calculer quoi que ce soit. Une copie qui écrit directement la formule de $Z$ sans figure se trompe de signe une fois sur deux.

Le signe de $\varphi$ nomme le comportement du circuit :

$L\omega > 1/C\omega$ : le circuit est inductif, la tension est en avance sur le courant ;
$L\omega < 1/C\omega$ : il est capacitif, la tension est en retard.

Quiz · 1 question

Dans un RLC série, pourquoi écrit-on la DIFFÉRENCE Lω − 1/Cω et non leur somme ?

Par convention de signe sur les impédances — convention
Parce que les tensions aux bornes de L et de C sont déphasées de π l'une par rapport à l'autre : leurs vecteurs sont opposés — vecteurs opposés
Parce que le condensateur est un récepteur et la bobine un générateur — nature du dipôle

Réponse : La bobine avance la tension d'un quart de tour, le condensateur la retarde d'autant : les deux vecteurs sont à 180° l'un de l'autre. Leur somme vectorielle est donc leur différence en valeur, et c'est ce qui rend leur compensation possible.

La résonance

Lorsque la réactance s'annule, l'impédance tombe à sa valeur minimale $R$ et l'intensité devient maximale. C'est la résonance d'intensité, obtenue pour

L\omega_0 = \frac{1}{C\omega_0} \qquad\Longrightarrow\qquad \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} \qquad\qquad f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}

À cette pulsation, et à elle seule :

Z = R \qquad I_{\max} = \frac{U}{R} \qquad \varphi = 0

Le circuit se comporte comme une simple résistance : les effets de la bobine et du condensateur ne disparaissent pas, ils se compensent exactement.

C'est là qu'intervient le phénomène le plus contre-intuitif du chapitre. À la résonance, les tensions aux bornes de $L$ et de $C$ peuvent dépasser largement celle du générateur — d'un facteur $Q = L\omega_0/R$ , le facteur de qualité. Un circuit alimenté sous $24$ V peut porter $60$ V aux bornes de sa bobine. Il n'y a pas de contradiction : ces deux tensions sont opposées et leur somme reste nulle. C'est aussi ce qui rend la résonance dangereuse en pratique, et ce qui la rend utile en radio, où elle permet de sélectionner une station parmi toutes celles que capte l'antenne.

Plus $R$ est petite, plus la résonance est aiguë : la courbe $I(\omega)$ est étroite, la sélectivité grande. Une résistance élevée l'amortit et l'aplatit.

Puissance et facteur de puissance

\mathcal{P} = U\,I\cos\varphi

La puissance moyenne consommée n'est pas le produit des valeurs efficaces : il faut la corriger par $\cos\varphi$ , le facteur de puissance. Cela tient à ce que la bobine et le condensateur ne consomment rien en moyenne — ils stockent l'énergie pendant un quart de période et la restituent pendant le suivant. Seule la résistance dissipe, et l'on peut d'ailleurs écrire $\mathcal{P} = R\,I^2$ .

Un facteur de puissance faible signifie qu'un fort courant circule pour peu de puissance utile : les pertes en ligne, en $R I^2$ , augmentent sans contrepartie. C'est pourquoi les distributeurs facturent aux industriels un $\cos\varphi$ trop bas, et pourquoi on le corrige en ajoutant des condensateurs aux installations à moteurs, fortement inductives.

Quiz · 1 question

À la résonance, la tension efficace aux bornes de la bobine peut-elle dépasser celle du générateur ?

Non, ce serait contraire à la loi des mailles — impossible
Oui : les tensions aux bornes de L et de C sont opposées et se compensent, seule leur somme est bornée — compensation
Oui, mais seulement si R est très grande — grande résistance

Réponse : La loi des mailles porte sur les valeurs INSTANTANÉES, et u_L + u_C = 0 à chaque instant à la résonance. Rien n'interdit à chacune de valoir plusieurs fois U. Le facteur d'amplification est Q = Lω₀/R, d'autant plus grand que R est petite.

À vous

Exercice de code

Écrivez impédance et déphasage d'un RLC série, trouvez la résonance par balayage, et vérifiez qu'à la résonance les tensions aux bornes de L et de C dépassent celle du générateur.

Point de départ

// Un circuit RLC série : R = 40 ohms, L = 0.20 H, C = 20 µF,
// alimenté sous une tension efficace U = 24 V.
const R = 40, L = 0.20, C = 20e-6, U = 24;

// 1. Les trois impédances, puis celle du circuit entier.
//    Attention : les impédances ne s'additionnent PAS.
const impedance = (omega) => 0;   // à corriger
const dephasage = (omega) => 0;   // en radians, à corriger

// 2. L'intensité efficace, et la pulsation de résonance.
const intensite = (omega) => 0;   // à corriger

const w = 250;
console.log(impedance(w).toFixed(1), (dephasage(w) * 180 / Math.PI).toFixed(1));
// attendu : 50.0  -36.9

// 3. Balayez la pulsation et trouvez celle qui maximise l'intensité.
//    Comparez-la à 1/sqrt(L*C).

Solution

const R = 40, L = 0.20, C = 20e-6, U = 24;

// La construction de Fresnel donne le théorème de Pythagore :
// la tension aux bornes de R est en phase avec i, celles de L et
// de C lui sont perpendiculaires et OPPOSÉES entre elles. D'où la
// différence Lw - 1/(Cw), et non leur somme.
const reactance = (omega) => L * omega - 1 / (C * omega);
const impedance = (omega) => Math.hypot(R, reactance(omega));
const dephasage = (omega) => Math.atan2(reactance(omega), R);
const intensite = (omega) => U / impedance(omega);

const w = 250;
console.log(impedance(w).toFixed(1), (dephasage(w) * 180 / Math.PI).toFixed(1));
// 50.0  -36.9 — la réactance est négative : le circuit est
// capacitif, la tension est en RETARD sur l'intensité.

// À la résonance, la réactance s'annule : les effets de L et de C
// se compensent exactement, l'impédance tombe à R et l'intensité
// est maximale. Le circuit se comporte comme une simple résistance.
let meilleure = 1;
for (let x = 1; x < 1000; x += 0.1) {
  if (intensite(x) > intensite(meilleure)) meilleure = x;
}
const w0 = 1 / Math.sqrt(L * C);
console.log(meilleure.toFixed(1), w0.toFixed(1));   // 500.0 500.0
console.log(impedance(w0).toFixed(1));              // 40.0 — soit R
console.log(intensite(w0).toFixed(2));              // 0.60 A
console.log((dephasage(w0) * 180 / Math.PI).toFixed(1)); // 0.0

// Le piège du chapitre : à la résonance, les tensions aux bornes
// de L et de C peuvent DÉPASSER largement celle du générateur.
// Elles s'opposent, donc leur somme reste nulle.
const i0 = intensite(w0);
console.log((L * w0 * i0).toFixed(1), (i0 / (C * w0)).toFixed(1)); // 60.0 60.0

Un exercice de bac

Exercice 1

Étude d'un circuit RLC série

Un circuit série comporte $R = 50\ \Omega$ , une bobine d'inductance $L = 0{,}10$ H de résistance négligeable et un condensateur de capacité $C = 10\ \mu$ F. Il est alimenté sous une tension efficace $U = 12$ V de fréquence $f = 100$ Hz.

Calculer l'impédance du circuit et l'intensité efficace.
Calculer le déphasage et préciser la nature du circuit.
Déterminer la fréquence de résonance et l'intensité qu'on y observerait.

Correction

1. La pulsation vaut $\omega = 2\pi f = 628$ rad/s. Les deux réactances :

L\omega = 0{,}10 \times 628 = 62{,}8\ \Omega \qquad \frac{1}{C\omega} = \frac{1}{10^{-5} \times 628} = 159\ \Omega

Z = \sqrt{50^2 + (62{,}8 - 159)^2} = \sqrt{2500 + 9254} \approx 108\ \Omega

I = \frac{U}{Z} = \frac{12}{108} \approx 0{,}11\ \text{A}

2. Le déphasage :

\tan\varphi = \frac{62{,}8 - 159}{50} = -1{,}92 \qquad\Longrightarrow\qquad \varphi \approx -62°

La réactance est négative, donc $1/C\omega$ l'emporte : le circuit est capacitif, et la tension est en retard de $62°$ sur l'intensité. Le signe est la réponse attendue, pas seulement la valeur.

3. À la résonance :

f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{0{,}10 \times 10^{-5}}} \approx 159\ \text{Hz}

Z = R = 50\ \Omega \qquad\Longrightarrow\qquad I_{\max} = \frac{12}{50} = 0{,}24\ \text{A}

L'intensité est plus que doublée par rapport à $100$ Hz, pour la même tension d'alimentation : c'est tout l'intérêt du phénomène. On vérifiera au passage que la tension aux bornes de la bobine y vaut $L\omega_0 I = 0{,}10 \times 1000 \times 0{,}24 = 24$ V, soit le double de celle du générateur.

À retenir

Flashcards · 6 cartes

Que mesure la valeur efficace d'une tension alternative ?: Elle vaut U_m/√2, et c'est l'intensité du courant CONTINU qui dissiperait la même puissance dans la même résistance. Les 230 V du secteur sont efficaces ; l'amplitude atteint 325 V.
Pourquoi la bobine avance-t-elle la tension et le condensateur la retarde-t-il ?: Parce que la bobine DÉRIVE le courant (u = L·di/dt) et que le condensateur l'INTÈGRE. Dériver un cosinus l'avance d'un quart de tour, l'intégrer le retarde d'autant.
D'où vient le signe moins dans Lω − 1/Cω ?: Des vecteurs de Fresnel : U_L et U_C sont opposés, à 180° l'un de l'autre. Leur somme vectorielle est leur différence en valeur — et c'est ce qui rend la résonance possible.
Que vaut la pulsation de résonance, et qu'y observe-t-on ?: ω₀ = 1/√(LC). L'impédance tombe à R, l'intensité est maximale, le déphasage est nul : le circuit se comporte comme une simple résistance.
Les tensions aux bornes de L et de C peuvent-elles dépasser celle du générateur ?: Oui, d'un facteur Q = Lω₀/R à la résonance. Elles sont opposées à chaque instant, donc leur somme reste nulle : la loi des mailles est respectée.
Pourquoi corrige-t-on le facteur de puissance d'une installation industrielle ?: Parce que P = UI·cos φ : un cos φ faible fait circuler un fort courant pour peu de puissance utile, et les pertes en ligne en RI² augmentent. On ajoute des condensateurs pour compenser les moteurs, inductifs.