Physique · C4 Physique atomique et nucléaire · Chapitre 2 · 8 h

Radioactivité et énergie nucléaire

Défaut de masse, désintégrations α, β⁻, β⁺ et rayonnement γ, loi de décroissance et période, fission, fusion, bilans par E = mc².

Dernier chapitre du programme, et le seul où l'énergie mise en jeu ne vient ni du mouvement ni du champ, mais de la masse elle-même. Une réaction nucléaire libère un million de fois plus d'énergie qu'une réaction chimique de même masse, et la raison tient en une équation.

C'est aussi le chapitre où l'analyse de l'année trouve son application la plus directe : la décroissance radioactive est l'équation différentielle $y' = -\lambda y$ , et rien d'autre.

Le noyau, et ce qui lui manque

Un noyau se note $^{A}_{Z}\mathrm{X}$ , où $Z$ est le nombre de protons — le numéro atomique, qui identifie l'élément — et $A$ le nombre total de nucléons, protons et neutrons. Deux isotopes ont même $Z$ et des $A$ différents : chimiquement identiques, mais pas du tout équivalents du point de vue nucléaire.

La masse d'un noyau est inférieure à la somme des masses de ses nucléons pris séparément. Cette différence est le défaut de masse :

\Delta m = Z\,m_p + (A - Z)\,m_n - m_{\text{noyau}}

Elle n'est pas une erreur de pesée : la masse manquante a été convertie en énergie lors de la formation du noyau, selon

E = \Delta m\,c^2

C'est l'énergie de liaison — celle qu'il faudrait fournir pour disperser le noyau en nucléons libres. Rapportée au nombre de nucléons, $E_\ell/A$ mesure la stabilité : plus elle est grande, plus le noyau est solidement lié.

La courbe d'Aston, qui porte $E_\ell/A$ en fonction de $A$ , présente un maximum autour du fer ( $A \approx 56$ ). Elle explique à elle seule les deux voies de production d'énergie nucléaire : les noyaux légers gagnent à fusionner, les noyaux lourds gagnent à se briser, et tous deux se rapprochent ainsi du sommet.

Les désintégrations

Un noyau instable se transforme spontanément. Quatre modes, et deux lois de conservation qui suffisent à écrire toutes les équations : conservation du nombre de nucléons $A$ , et conservation de la charge $Z$ — ce sont les lois de Soddy.

Mode	Particule émise	Effet
$\alpha$	$^{4}_{2}\mathrm{He}$	$A$ diminue de 4, $Z$ de 2
$\beta^-$	$^{0}_{-1}\mathrm{e}$	$A$ inchangé, $Z$ augmente de 1
$\beta^+$	$^{0}_{+1}\mathrm{e}$	$A$ inchangé, $Z$ diminue de 1
$\gamma$	photon	$A$ et $Z$ inchangés

^{238}_{\ \,92}\mathrm{U} \;\longrightarrow\; ^{234}_{\ \,90}\mathrm{Th} + ^{4}_{2}\mathrm{He} \qquad\qquad ^{14}_{\ 6}\mathrm{C} \;\longrightarrow\; ^{14}_{\ 7}\mathrm{N} + ^{\ 0}_{-1}\mathrm{e}

L'émission $\beta^-$ demande une explication, faute de quoi elle paraît absurde : le noyau ne contient pas d'électrons. C'est un neutron qui se transforme en proton, en émettant un électron. Le nombre de nucléons ne change donc pas, mais la charge augmente d'une unité.

Le rayonnement $\gamma$ n'est jamais seul : il accompagne les autres, le noyau-fils étant produit dans un état excité dont il retombe en émettant un photon très énergétique. C'est l'exact analogue de la transition atomique du chapitre précédent, à l'échelle du noyau et avec des énergies un million de fois plus grandes.

Quiz · 1 question

Lors d'une désintégration β⁻, le nombre de nucléons A du noyau reste inchangé. Pourquoi ?

Parce que l'électron émis était déjà présent dans le noyau — électron stocké
Parce qu'un neutron se transforme en proton : le nombre total de nucléons ne varie pas — neutron converti
Parce que A ne varie jamais lors d'une désintégration — loi générale

Réponse : Le noyau ne contient pas d'électrons. Un de ses neutrons devient un proton en émettant un électron : un nucléon reste un nucléon, donc A est conservé, mais la charge augmente d'une unité. La désintégration α, elle, fait bien varier A.

La loi de décroissance

La désintégration d'un noyau donné est imprévisible : on ne peut pas dire quand il se désintégrera. Mais sur un grand nombre de noyaux, le comportement statistique est parfaitement régulier — la probabilité de désintégration par unité de temps est une constante $\lambda$ , propre au nucléide.

Le nombre de noyaux qui disparaissent pendant $dt$ est donc proportionnel au nombre présent :

\frac{dN}{dt} = -\lambda\,N \qquad\Longrightarrow\qquad N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}

C'est exactement l'équation différentielle étudiée en mathématiques, et sa solution est celle qu'on y a démontrée. Traiter ce chapitre avant l'exponentielle rend la loi inapprenable ; après, elle ne demande aucun effort nouveau.

La période radioactive $T$ — ou demi-vie — est le temps au bout duquel la moitié des noyaux ont disparu. En écrivant $N_0/2 = N_0 e^{-\lambda T}$ :

T = \frac{\ln 2}{\lambda}

Cette relation se redémontre en deux lignes ; l'apprendre par cœur est inutile et risqué.

L'activité est le nombre de désintégrations par seconde, en becquerels (Bq) :

\mathcal{A} = \lambda\,N = \mathcal{A}_0\,e^{-\lambda t}

Elle décroît selon la même loi que $N$ , et lui est proportionnelle. C'est ce qui rend la datation possible : le rapport de deux activités est celui des nombres de noyaux, sans qu'on ait besoin de connaître ni l'un ni l'autre en valeur absolue.

Deux remarques que les exercices exploitent systématiquement. Après $n$ périodes, il reste $N_0/2^n$ noyaux : deux périodes ne font pas disparaître la totalité, mais les trois quarts. Et la décroissance n'a pas de fin — chaque période divise par deux sans jamais atteindre zéro, ce qui fixe la limite pratique des méthodes de datation.

Quiz · 1 question

Après deux périodes radioactives, quelle proportion de noyaux subsiste ?

Aucune : tout a disparu — rien
Un quart — un quart
La moitié — la moitié

Réponse : Chaque période divise par deux : après deux périodes il reste (1/2)² = 1/4 des noyaux. La décroissance est exponentielle, jamais linéaire — et elle ne s'achève jamais complètement.

Fission, fusion, et le bilan énergétique

La fission : un noyau lourd, frappé par un neutron, se brise en deux noyaux plus légers en libérant deux ou trois neutrons. Ceux-ci peuvent provoquer d'autres fissions — c'est la réaction en chaîne, contrôlée dans un réacteur par des barres absorbant l'excès de neutrons.

^{235}_{\ \,92}\mathrm{U} + ^{1}_{0}\mathrm{n} \;\longrightarrow\; ^{94}_{38}\mathrm{Sr} + ^{140}_{\ \,54}\mathrm{Xe} + 2\,^{1}_{0}\mathrm{n}

La fusion : deux noyaux légers s'assemblent. C'est la source d'énergie des étoiles, et elle libère davantage d'énergie par nucléon que la fission — mais elle exige des températures de plusieurs millions de degrés pour vaincre la répulsion électrique des noyaux.

^{2}_{1}\mathrm{H} + ^{3}_{1}\mathrm{H} \;\longrightarrow\; ^{4}_{2}\mathrm{He} + ^{1}_{0}\mathrm{n}

Le bilan se calcule toujours de la même façon, et cette méthode vaut pour toute réaction nucléaire :

E_{\text{libérée}} = \left|\Delta m\right|c^2 \qquad\text{avec}\qquad \Delta m = m_{\text{produits}} - m_{\text{réactifs}}

Une masse qui diminue signifie une énergie libérée. On exprime commodément les masses en unités de masse atomique, avec l'équivalence $1\ \mathrm{u} = 931{,}5$ MeV/ $c^2$ : le calcul se fait alors sans jamais manipuler de joules.

À vous

Exercice de code

Reliez période et constante radioactive, datez un échantillon par le rapport des activités, et trouvez la limite de la méthode.

Point de départ

// Le carbone 14 a une période radioactive T = 5730 ans.
// Un échantillon de bois prélevé sur un site archéologique a une
// activité de 9.5 désintégrations par minute et par gramme, contre
// 13.6 pour du bois vivant.
const T = 5730;

// 1. La constante radioactive, tirée de la période.
const lambda = 0;   // à corriger

// 2. La loi de décroissance, et son inverse : dater, c'est
//    résoudre N(t) = N0 * exp(-lambda*t) en t.
const restant = (t) => 0;     // fraction restante après t années
const age = (fraction) => 0;  // à corriger

console.log(lambda.toExponential(3));      // attendu : 1.210e-4
console.log(restant(5730).toFixed(3));     // 0.500 — une période
console.log(restant(11460).toFixed(3));    // ?
console.log(Math.round(age(9.5 / 13.6)));  // ?

// 3. Au bout de combien de périodes reste-t-il moins de 1 % ?

Solution

const T = 5730;

// La période est le temps au bout duquel la moitié des noyaux ont
// disparu : N0/2 = N0*exp(-lambda*T) donne lambda = ln2/T. Cette
// relation se redémontre en deux lignes, elle ne s'apprend pas.
const lambda = Math.LN2 / T;

const restant = (t) => Math.exp(-lambda * t);

// Dater, c'est inverser l'exponentielle par le logarithme — le
// seul endroit du programme de physique où ln sert vraiment.
const age = (fraction) => -Math.log(fraction) / lambda;

console.log(lambda.toExponential(3));      // 1.210e-4 par an
console.log(restant(5730).toFixed(3));     // 0.500
console.log(restant(11460).toFixed(3));    // 0.250 — DEUX périodes,
                                           // pas la totalité
console.log(Math.round(age(9.5 / 13.6)));  // 2965 ans

// L'activité étant proportionnelle au nombre de noyaux, le rapport
// des activités EST le rapport des nombres de noyaux : on n'a
// besoin de connaître ni l'un ni l'autre en valeur absolue.

// La décroissance n'est jamais finie : chaque période divise par
// deux, sans jamais atteindre zéro.
let n = 0;
while (0.5 ** n > 0.01) n++;
console.log(n, (n * T).toFixed(0));  // 7 périodes, soit 40110 ans

// C'est la limite de la méthode : au-delà d'une dizaine de
// périodes, l'activité résiduelle n'est plus mesurable, et le
// carbone 14 ne date rien de plus vieux que 50 000 ans environ.

Un exercice de bac

Exercice 1

Le polonium 210

Le polonium $^{210}_{\ \,84}\mathrm{Po}$ est un émetteur $\alpha$ de période $T = 138$ jours. Un échantillon contient initialement $N_0 = 2{,}0 \times 10^{20}$ noyaux.

Écrire l'équation de la désintégration et identifier le noyau-fils.
Calculer la constante radioactive et l'activité initiale de l'échantillon.
Au bout de combien de temps l'activité sera-t-elle tombée au dixième de sa valeur initiale ?

Correction

1. Les lois de Soddy imposent la conservation de $A$ et de $Z$ :

^{210}_{\ \,84}\mathrm{Po} \;\longrightarrow\; ^{206}_{\ \,82}\mathrm{Y} + ^{4}_{2}\mathrm{He}

210 = 206 + 4 \qquad 84 = 82 + 2

Le noyau-fils a $Z = 82$ : c'est le plomb, $^{206}_{\ \,82}\mathrm{Pb}$ . On lit $Z$ dans la classification, on ne le devine pas.

2. La période étant donnée en jours, on la convertit :

T = 138 \times 24 \times 3600 = 1{,}19 \times 10^7\ \text{s}

\lambda = \frac{\ln 2}{T} = \frac{0{,}693}{1{,}19 \times 10^7} \approx 5{,}8 \times 10^{-8}\ \text{s}^{-1}

\mathcal{A}_0 = \lambda\,N_0 = 5{,}8 \times 10^{-8} \times 2{,}0 \times 10^{20} \approx 1{,}2 \times 10^{13}\ \text{Bq}

3. On résout $\mathcal{A} = \mathcal{A}_0/10$ , c'est-à-dire $e^{-\lambda t} = 0{,}1$ :

t = \frac{\ln 10}{\lambda} = \frac{2{,}30}{5{,}8 \times 10^{-8}} \approx 4{,}0 \times 10^7\ \text{s} \approx 458\ \text{jours}

Contrôle de vraisemblance : $458 / 138 \approx 3{,}3$ périodes, et $2^{3,3} \approx 10$ . Le résultat est cohérent — trois périodes divisent par huit, un peu plus en faut pour diviser par dix.

À retenir

Flashcards · 6 cartes

Qu'est-ce que le défaut de masse, et à quoi correspond-il ?: La différence entre la somme des masses des nucléons libres et la masse du noyau. Elle a été convertie en énergie de liaison lors de la formation du noyau : E = Δm·c².
Que dit la courbe d'Aston, et qu'explique-t-elle ?: L'énergie de liaison par nucléon passe par un maximum vers le fer. Les noyaux légers gagnent donc à fusionner, les lourds à fissionner — les deux se rapprochent du sommet.
Quelles sont les deux lois qui permettent d'écrire toute équation nucléaire ?: Les lois de Soddy : conservation du nombre de nucléons A et conservation de la charge Z. Elles suffisent à identifier le noyau-fils, qu'on lit ensuite dans la classification.
Pourquoi A ne change-t-il pas lors d'une désintégration β⁻ ?: Parce qu'un neutron se transforme en proton : un nucléon reste un nucléon. Le noyau ne contenait pas l'électron émis, il le fabrique.
Quelle est la loi de décroissance, et comment obtient-on la période ?: N = N₀·e^(−λt), solution de dN/dt = −λN. La période s'en déduit en deux lignes : T = ln2/λ. Après n périodes il reste N₀/2ⁿ noyaux.
Pourquoi peut-on dater un échantillon sans connaître le nombre de noyaux qu'il contient ?: Parce que l'activité est proportionnelle au nombre de noyaux : le RAPPORT de deux activités est celui des nombres de noyaux, et c'est tout ce dont la loi de décroissance a besoin.