La cinématique décrit un mouvement sans chercher à l'expliquer. Elle ne parle ni de forces ni de causes : elle répond à « où est le mobile, à quelle vitesse, et comment cette vitesse change ». L'explication viendra au chapitre suivant, avec les lois de Newton.

Cette séparation n'est pas une commodité de plan. Un exercice de mécanique se traite toujours dans cet ordre — décrire d'abord, expliquer ensuite — et l'inverser est la première source de blocage : on cherche les forces avant d'avoir choisi le repère dans lequel on va les projeter.

Référentiel, repère, et pourquoi ils ne sont pas la même chose

Le référentiel est le solide par rapport auquel on observe. Le repère est le système d'axes qu'on attache à ce solide pour écrire des nombres.

La distinction se voit dans un exemple : un voyageur assis dans un train est immobile dans le référentiel du wagon et animé de 200 km/h dans le référentiel du sol. Ce n'est pas le même mouvement décrit de deux façons, ce sont deux mouvements différents — et aucun des deux n'est plus vrai que l'autre. Un mouvement n'existe que relativement à un référentiel, et un énoncé qui l'omet est incomplet.

Trois référentiels reviennent au programme :

Le référentiel terrestre est considéré comme galiléen à l'échelle d'un exercice : sa rotation existe mais ses effets sont négligeables pour une chute de quelques secondes.

Les trois vecteurs

Toute la cinématique tient dans une chaîne de deux dérivations.

En coordonnées cartésiennes, dériver un vecteur revient à dériver chacune de ses composantes séparément :

C'est cette propriété qui rend le choix du repère décisif : bien orienté, il découple le problème en deux mouvements indépendants qu'on traite l'un après l'autre. Mal orienté, il oblige à manipuler des composantes couplées pour rien.

Deux points de vocabulaire qui coûtent des points en copie :

La vitesse moyenne est un quotient de distance par durée ; la vitesse instantanée est une dérivée. Elles ne coïncident presque jamais, et un énoncé qui donne un temps de parcours et une distance ne donne pas la vitesse à l'arrivée.

L'accélération n'est pas « le fait d'aller plus vite ». C'est la variation du vecteur vitesse. Un mobile dont la vitesse garde une norme constante mais change de direction est accéléré — c'est exactement le cas du mouvement circulaire uniforme, plus bas.

Mouvement rectiligne uniforme

Trajectoire droite, vitesse constante, accélération nulle. Une seule équation :

Le mouvement est uniforme parce que $\vec{a} = \vec{0}$, et cette condition est exactement celle de la première loi de Newton : rien ne le distingue de l'immobilité, sinon le référentiel choisi.

Mouvement rectiligne uniformément varié

Trajectoire droite, accélération constante non nulle. C'est le cas le plus fréquent de l'épreuve, et les deux équations horaires s'obtiennent en intégrant $a$ deux fois :

Les constantes d'intégration ne sont pas des inconnues à déterminer laborieusement : ce sont les conditions initiales, la vitesse et la position à $t = 0$.

En éliminant $t$ entre ces deux relations, on obtient une troisième équation qui ne contient plus le temps :

Elle n'apporte aucune physique nouvelle, mais elle est indispensable dans un cas précis : lorsque l'énoncé ne donne aucune durée. « Quelle distance de freinage pour passer de 90 km/h à l'arrêt avec une décélération de 5 m/s² » se résout par cette seule ligne.

Uniformément varié ne veut pas dire accéléré. Le mouvement est accéléré si $\vec{v}$ et $\vec{a}$ ont le même sens, retardé s'ils sont opposés. Le critère se lit sur le signe du produit $a \cdot v$, et il peut changer au cours du mouvement : un mobile lancé vers le haut est d'abord retardé, puis accéléré, sans que son accélération ait varié d'un iota.

Mouvement circulaire uniforme

La trajectoire est un cercle de rayon $R$, parcouru à vitesse de norme constante. On l'écrit dans le repère de Frenet, dont les deux axes suivent le mobile : $\vec{u}_T$ tangent, orienté dans le sens du mouvement, $\vec{u}_N$ normal, dirigé vers le centre.

L'accélération est purement normale : sa composante tangentielle $\dfrac{dv}{dt}$ est nulle puisque $v$ ne varie pas. Elle est centripète — dirigée vers le centre, jamais vers l'extérieur. La « force centrifuge » que l'intuition réclame n'existe pas dans un référentiel galiléen ; ce qu'on ressent dans un virage est l'effet de la force centripète exercée par le siège.

Les grandeurs associées se déduisent les unes des autres :

où $\omega$ est la vitesse angulaire en rad/s, $T$ la période en secondes, $f$ la fréquence en hertz. L'accélération s'écrit aussi $a = \omega^2 R$, forme plus commode dès que l'énoncé fournit une période plutôt qu'une vitesse — le cas de tous les exercices sur les satellites.

La méthode, en cinq lignes

Un exercice de cinématique se traite toujours dans le même ordre, et le respecter fait gagner un temps considérable.

1. Référentiel : nommé explicitement, même quand il paraît évident.
2. Repère : origine et sens des axes, choisis pour simplifier — l'axe le long du mouvement, ou le long de la pente.
3. Conditions initiales : $x_0$ et $v_0$ lus dans l'énoncé, avec leur signe.
4. Équations horaires, écrites une fois pour toutes.
5. Résolution : la question posée devient une équation en $t$ ou en $x$.

L'étape 2 est celle qui se néglige et qui coûte le plus cher. Un axe vertical orienté vers le haut donne $a = -g$ ; orienté vers le bas, $a = +g$. Les deux choix sont corrects, mais les mélanger en cours de calcul ne l'est pas.

À vous

// Un mobile part de x0 = 5 m avec v0 = 12 m/s et décélère
// uniformément : a = -3 m/s².
const x0 = 5, v0 = 12, a = -3;

// 1. Les deux équations horaires du mouvement rectiligne
//    uniformément varié.
const x = (t) => 0;  // à corriger
const v = (t) => 0;  // à corriger

// 2. La date d'arrêt : l'instant où la vitesse s'annule.
const tArret = 0;    // à corriger

console.log(x(2), v(2));      // attendu : 23 6
console.log(tArret);          // attendu : 4
console.log(x(tArret));       // attendu : 29 — l'abscisse maximale

// 3. La relation indépendante du temps, v² - v0² = 2a(x - x0),
//    doit être vérifiée à TOUTE date. On le contrôle en t = 2.
const ecart = v(2) ** 2 - v0 ** 2 - 2 * a * (x(2) - x0);
console.log(ecart);           // attendu : 0

const x0 = 5, v0 = 12, a = -3;

// Les deux équations sortent d'une double intégration de a = -3 :
// v est une primitive de a, x une primitive de v. Les constantes
// d'intégration sont exactement les conditions initiales.
const x = (t) => 0.5 * a * t ** 2 + v0 * t + x0;
const v = (t) => a * t + v0;

// v(t) = 0 donne t = -v0/a. Le signe est correct parce que a est
// négatif : une décélération.
const tArret = -v0 / a;

console.log(x(2), v(2));      // 23 6
console.log(tArret);          // 4
console.log(x(tArret));       // 29

// L'écart est nul, et il l'est pour tout t : cette relation n'est
// pas une troisième loi, c'est l'élimination de t entre les deux
// premières. Elle sert quand l'énoncé ne donne AUCUNE durée.
const ecart = v(2) ** 2 - v0 ** 2 - 2 * a * (x(2) - x0);
console.log(ecart);           // 0

// Piège classique : le mobile ne s'arrête pas définitivement en
// t = 4 s. L'accélération reste égale à -3, donc il repart en
// sens inverse. « Vitesse nulle » ne veut pas dire « immobile ».
console.log(v(6), x(6));      // -6 23 — il est revenu sur ses pas

Un exercice de bac

À retenir

Le chapitre précédent décrivait des mouvements. Celui-ci les explique : il relie ce que subit un corps à la façon dont son mouvement change. Une seule relation porte tout le chapitre, et elle tient en cinq symboles.

Le point qu'il faut installer d'emblée, parce qu'il est contre-intuitif et qu'il conditionne tout : une force ne maintient pas un mouvement, elle le modifie. Un corps qui avance sans force continue d'avancer. L'intuition dit le contraire, parce que sur Terre les frottements sont partout — et c'est justement ce que Newton a dû écarter pour voir la loi.

Les trois lois de Newton

Première loi — le principe d'inertie. Dans un référentiel galiléen, un solide isolé ou pseudo-isolé (soumis à des forces qui se compensent) est immobile ou animé d'un mouvement rectiligne uniforme, et réciproquement.

La réciproque est la moitié utile en exercice : si l'énoncé affirme que le mouvement est rectiligne uniforme, on sait que la somme des forces est nulle, sans rien calculer.

Deuxième loi — le théorème du centre d'inertie.

Une égalité vectorielle, donc deux équations scalaires dans le plan. Elle dit que l'accélération est colinéaire et de même sens que la résultante des forces, et que la masse mesure la résistance à ce changement — c'est l'inertie.

Troisième loi — actions réciproques. Si $A$ exerce sur $B$ la force $\vec{F}_{A \to B}$, alors $B$ exerce sur $A$ la force

Ces deux forces sont opposées mais s'appliquent à des corps différents : elles ne se compensent jamais entre elles. C'est l'erreur classique du chapitre — écrire que le poids et la réaction du sol forment un couple action-réaction. Ils s'appliquent tous deux au même corps, ce ne peut pas être le cas.

Les forces usuelles

Deux remarques qui reviennent en correction. La réaction normale n'est pas égale au poids en général : elle ne l'est que sur un plan horizontal sans autre force verticale. Sur un plan incliné, $N = mg\cos\alpha$, et dans un ascenseur qui accélère, $N \neq mg$. Et le frottement n'a pas de valeur propre : c'est la réaction du support qui se décompose en une composante normale et une composante tangentielle, la seconde étant liée à la première par $\mu$.

La méthode — quatre étapes, toujours les mêmes

C'est la partie du chapitre qui se travaille comme un réflexe, parce qu'elle vaut pour absolument tous les exercices, y compris ceux du chapitre suivant.

1. Définir le système — le corps qu'on étudie, et lui seul. L'écrire noir sur blanc.
2. Choisir le référentiel et le déclarer galiléen.
3. Faire le bilan des forces extérieures, et les dessiner sur un schéma.
4. Appliquer $\sum \vec{F} = m\vec{a}$, puis projeter sur les axes.

L'étape 1 est celle qu'on croit inutile et qui décide de tout. Dans un problème à deux corps reliés par un fil, on écrit deux théorèmes, un par système, et la tension du fil apparaît dans les deux avec des signes opposés — c'est ce qui permet de l'éliminer. Étudier « le système des deux corps » d'un seul coup fait disparaître la tension, ce qui est parfois commode et parfois exactement ce qu'on cherchait.

L'étape 4 mérite un mot sur le choix des axes. On oriente toujours un axe dans le sens du mouvement présumé : les projections y sont positives, et le signe du résultat devient interprétable. Un axe choisi au hasard donne des résultats corrects mais illisibles.

Le plan incliné, cas d'école

Un solide de masse $m$ sur un plan incliné d'angle $\alpha$. On prend l'axe $x$ le long de la pente, orienté vers le bas, et l'axe $y$ perpendiculaire au plan.

Le poids est la seule force à projeter réellement, et c'est là que se joue l'exercice :

Le sinus va avec la composante le long de la pente. L'inverser est l'erreur la plus fréquente du chapitre, et elle se détecte en une seconde par un cas limite : pour $\alpha = 90°$, le plan est vertical, la composante le long de la pente doit valoir $mg$ tout entier — et $\sin 90° = 1$. Ce contrôle vaut mieux qu'un moyen mnémotechnique.

La projection du théorème donne alors, avec frottement :

La masse a disparu. Ce n'est pas un accident de calcul : c'est la raison pour laquelle deux corps de masses différentes glissent de la même manière, et un test immédiat de la validité d'une projection. Si $m$ subsiste dans une accélération de glissement, il y a une erreur en amont.

Systèmes reliés

Deux solides $A$ et $B$ reliés par un fil inextensible de masse négligeable, passant sur une poulie idéale. Deux propriétés font tout le travail :

• le fil étant inextensible, les deux corps ont la même accélération en norme ;
• le fil et la poulie étant sans masse, la tension est la même à ses deux extrémités.

On écrit alors un théorème par corps, en orientant chaque axe dans le sens du mouvement de son corps, puis on additionne les deux équations : la tension s'élimine, l'accélération tombe. La tension se récupère ensuite en reportant dans l'une des deux.

C'est le seul montage du programme où l'on manipule deux systèmes à la fois, et il n'est difficile que si l'on saute l'étape 1 de la méthode.

À vous

// Un solide de masse m glisse sur un plan incliné d'angle alpha,
// avec un frottement de coefficient f. On cherche l'accélération.
const g = 9.8;

// Le repère est choisi AVEC l'axe x le long de la pente, orienté
// vers le bas : c'est ce choix qui rend la projection simple.
//
//   - poids       : composante -mg sin(alpha) sur x ... au signe près
//   - réaction    : perpendiculaire au plan, donc nulle sur x
//   - frottement  : opposé au mouvement, de norme f × N

const acceleration = (alpha, f) => 0;  // à corriger

const rad = (d) => (d * Math.PI) / 180;

console.log(acceleration(rad(30), 0).toFixed(2));    // attendu : 4.90
console.log(acceleration(rad(30), 0.2).toFixed(2));  // attendu : 3.20
console.log(acceleration(rad(90), 0).toFixed(2));    // attendu : 9.80

// La masse n'apparaît nulle part dans le résultat. Vérifiez-le en
// relisant votre expression : si m y figure encore, la projection
// est fausse.

const g = 9.8;

// Projection du théorème du centre d'inertie sur les DEUX axes.
//
//   sur y (perpendiculaire au plan) : N - mg cos(alpha) = 0
//                                     donc N = mg cos(alpha)
//   sur x (le long de la pente)     : mg sin(alpha) - f N = m a
//
// On substitue N, et m se simplifie : c'est la raison pour
// laquelle deux corps de masses différentes glissent identiquement.
const acceleration = (alpha, f) => g * (Math.sin(alpha) - f * Math.cos(alpha));

const rad = (d) => (d * Math.PI) / 180;

console.log(acceleration(rad(30), 0).toFixed(2));    // 4.90
console.log(acceleration(rad(30), 0.2).toFixed(2));  // 3.20
console.log(acceleration(rad(90), 0).toFixed(2));    // 9.80 — chute libre,
                                                     // le plan est vertical

// L'angle limite d'équilibre : en deçà, le solide ne démarre pas,
// le frottement compense exactement la composante du poids.
const angleLimite = (f) => (Math.atan(f) * 180) / Math.PI;
console.log(angleLimite(0.2).toFixed(1));            // 11.3 degrés
console.log(acceleration(rad(11.3), 0.2).toFixed(3)); // ~0.000

Un exercice de bac

À retenir

Ce chapitre est le plus rentable de l'épreuve : un exercice de physique sur deux en vient. Il le doit à une particularité rare — quatre situations qui n'ont rien à voir entre elles relèvent du même calcul.

Un champ est dit uniforme lorsqu'il a même direction, même sens et même valeur en tout point d'une région. La force qu'il exerce est alors constante, donc l'accélération aussi, et le mouvement s'obtient en intégrant deux fois. Chute d'un corps, tir d'un projectile, déviation d'un électron dans un tube cathodique : trois énoncés, une seule méthode.

Le seul cas qui échappe à ce schéma est le champ magnétique, et pour une raison précise que l'on verra : sa force dépend de la vitesse, donc l'accélération n'y est pas constante.

Chute libre et projectile

Un corps est en chute libre lorsque le poids est la seule force qui s'exerce sur lui — la résistance de l'air étant négligée. Le théorème du centre d'inertie donne alors $m\vec{g} = m\vec{a}$, d'où

La masse disparaît. Tous les corps tombent identiquement, quelle que soit leur masse : c'est le résultat de Galilée, et il est ici une conséquence d'une simplification algébrique.

Avec un repère dont l'axe $y$ est vertical ascendant et un lancer de vitesse $v_0$ inclinée de $\alpha$ :

Ces deux colonnes sont indépendantes. Le mouvement horizontal est uniforme, le mouvement vertical est une chute libre, et ils se déroulent en parallèle sans jamais s'influencer. Un projectile lancé horizontalement et une bille lâchée au même instant touchent le sol ensemble — l'animation ci-dessous le rend visible mieux qu'aucun raisonnement.

En éliminant $t$ entre les deux équations horaires, on obtient l'équation de la trajectoire :

Une parabole. Ce n'est pas une observation expérimentale, c'est une conséquence : le temps éliminé entre une fonction affine et une fonction du second degré ne peut donner que cela.

Trois grandeurs se demandent presque systématiquement, et aucune ne s'apprend par cœur — chacune se retrouve en deux lignes.

La portée est maximale pour $\alpha = 45°$, et deux angles complémentaires donnent la même portée — $30°$ et $60°$ atteignent la même cible, l'un par un tir tendu, l'autre en cloche.

Particule chargée dans un champ électrique uniforme

Entre deux plaques parallèles portées à une tension $U$ et distantes de $d$, le champ est uniforme, dirigé de la plaque positive vers la négative, de valeur

Une particule de charge $q$ y subit la force électrique $\vec{F} = q\vec{E}$. Le poids est systématiquement négligé devant elle — pour un électron, le rapport est de l'ordre de $10^{13}$, et l'énoncé demande souvent de le justifier par ce calcul.

L'accélération est constante : on est exactement dans le cas du projectile, avec $q E / m$ à la place de $g$. Toutes les formules précédentes se transposent, y compris l'équation de la trajectoire parabolique.

Deux dispositifs reviennent :

L'accélération, lorsque $\vec{E}$ est parallèle à la vitesse. Le théorème de l'énergie cinétique donne directement la vitesse de sortie, sans passer par les équations horaires :

La déviation, lorsque $\vec{E}$ est perpendiculaire à la vitesse d'entrée. La particule décrit une parabole dans les plaques, puis une droite au-delà — plus aucune force ne s'y exerce. C'est le principe de l'oscilloscope, et l'énoncé demande presque toujours la déviation sur l'écran, qui se calcule en prolongeant la tangente à la sortie des plaques.

Le signe de $q$ décide du sens de la déviation : un électron, de charge négative, est dévié vers la plaque positive, en sens inverse du champ.

Particule chargée dans un champ magnétique

C'est le point qui coince, chaque année, et la difficulté est géométrique avant d'être physique. La force de Lorentz s'écrit

Un produit vectoriel : le résultat est perpendiculaire aux deux vecteurs de départ. Sa norme vaut $|q|\,v\,B\sin\theta$, maximale quand $\vec{v}$ et $\vec{B}$ sont perpendiculaires, nulle quand ils sont colinéaires — une particule lancée le long des lignes de champ n'est pas déviée du tout.

Le conseil qui fait la différence : dessiner systématiquement le trièdre. Trois doigts de la main droite, orthogonaux, dans l'ordre $\vec{v}$, $\vec{B}$, $\vec{F}$ ; puis inverser le sens de $\vec{F}$ si la charge est négative. Tant que le trièdre n'est pas sur le papier, le calcul se fait à l'aveugle.

Deux conséquences immédiates, et elles ne se démontrent pas autrement :

La force ne travaille jamais. Étant perpendiculaire à la vitesse, sa puissance $\vec{F} \cdot \vec{v}$ est nulle. La norme de la vitesse est donc constante : un champ magnétique dévie, il n'accélère ni ne ralentit jamais. C'est ce qui le distingue radicalement du champ électrique, et l'énoncé le vérifie souvent par une question de cours.

Le mouvement est circulaire uniforme lorsque $\vec{v}$ est perpendiculaire à $\vec{B}$. La force, de norme constante $|q|vB$ et toujours perpendiculaire à la vitesse, est centripète. En égalant à $mv^2/R$ :

Le rayon croît avec la vitesse et décroît avec le champ. La période, elle, ne dépend pas de la vitesse :

C'est la propriété qui rend le cyclotron possible : une particule qui accélère décrit des cercles de plus en plus grands mais met toujours le même temps à en faire un tour, si bien qu'une tension alternative de période fixe peut l'accélérer à chaque passage.

Gravitation, satellites et lois de Kepler

Deux corps de masses $m_A$ et $m_B$ dont les centres sont distants de $r$ s'attirent avec une force de norme

Le champ de gravitation créé par un astre de masse $M$ à la distance $r$ de son centre vaut $\mathcal{G} = GM/r^2$. Au voisinage du sol, ce champ est $\vec{g}$ : l'intensité de la pesanteur n'est pas une constante donnée, c'est la valeur locale du champ de gravitation.

Pour un satellite en orbite circulaire, la gravitation est la seule force et elle est centripète. En l'égalant à $mv^2/r$, la masse du satellite se simplifie — encore une fois — et il vient

La vitesse ne dépend pas de la masse du satellite : un boulon et une station spatiale sur la même orbite ont la même vitesse. Et plus l'orbite est haute, plus le satellite est lent, ce qui heurte l'intuition mais se lit directement dans la formule.

En élevant la période au carré, on obtient la troisième loi de Kepler :

Le rapport ne dépend que de l'astre central. Deux satellites de la Terre vérifient donc $T_1^{\,2}/r_1^{\,3} = T_2^{\,2}/r_2^{\,3}$, ce qui permet de déduire l'un de l'autre sans connaître $G$ ni $M$ — c'est l'usage qu'en fait presque tout énoncé.

Le satellite géostationnaire est le cas particulier obligé : il paraît fixe au-dessus d'un point de l'équateur, donc sa période vaut exactement un jour sidéral ($T = 86\,164$ s), son orbite est équatoriale, et son rayon s'en déduit — environ $42\,200$ km depuis le centre de la Terre, soit $35\,800$ km d'altitude.

À vous

// Un projectile est lancé depuis le sol avec la vitesse v0,
// sous l'angle alpha (en degrés) au-dessus de l'horizontale.
const g = 9.8;
const rad = (d) => (d * Math.PI) / 180;

// 1. Les trois grandeurs qu'un énoncé demande presque toujours.
const duree = (v0, alpha) => 0;   // durée totale du vol
const portee = (v0, alpha) => 0;  // distance au point de chute
const fleche = (v0, alpha) => 0;  // altitude maximale

console.log(duree(20, 50).toFixed(2));    // attendu : 3.13
console.log(portee(20, 50).toFixed(1));   // attendu : 40.2
console.log(fleche(20, 50).toFixed(1));   // attendu : 12.0

// 2. Deux angles différents donnent la MÊME portée. Trouvez lequel
//    accompagne 50°, et vérifiez-le.
console.log(portee(20, 40).toFixed(1));   // ?

// 3. Quel angle maximise la portée ? Balayez et lisez le résultat.

const g = 9.8;
const rad = (d) => (d * Math.PI) / 180;

// Toutes trois se retrouvent depuis les équations horaires, et
// aucune ne mérite d'être apprise par cœur :
//   - la durée en résolvant y(t) = 0 pour t different de 0 ;
//   - la portée en reportant cette durée dans x(t) ;
//   - la flèche à mi-vol, là où la composante verticale s'annule.
const duree = (v0, alpha) => (2 * v0 * Math.sin(rad(alpha))) / g;
const portee = (v0, alpha) => (v0 ** 2 * Math.sin(2 * rad(alpha))) / g;
const fleche = (v0, alpha) => (v0 * Math.sin(rad(alpha))) ** 2 / (2 * g);

console.log(duree(20, 50).toFixed(2));    // 3.13
console.log(portee(20, 50).toFixed(1));   // 40.2
console.log(fleche(20, 50).toFixed(1));   // 12.0

// L'angle complémentaire donne la même portée : sin(2 x 40°) et
// sin(2 x 50°) valent tous deux sin(80°) = sin(100°). Le tir tendu
// et le tir en cloche atteignent la même cible.
console.log(portee(20, 40).toFixed(1));   // 40.2 — identique

// ... mais PAS la même flèche ni la même durée : c'est ce qui les
// distingue, et ce que l'énoncé demande de commenter.
console.log(fleche(20, 40).toFixed(1), duree(20, 40).toFixed(2)); // 8.4 2.63

// Le maximum est en 45°, où sin(2 alpha) = 1. Le balayage le
// confirme sans qu'on ait à dériver quoi que ce soit.
let meilleur = 0;
for (let a = 1; a < 90; a++) {
  if (portee(20, a) > portee(20, meilleur)) meilleur = a;
}
console.log(meilleur, portee(20, meilleur).toFixed(1)); // 45 40.8

Deux exercices de bac

À retenir

Les deux chapitres précédents résolvaient les problèmes par les forces : bilan, projection, équations horaires. Ce chapitre en propose une seconde voie, qui ne remplace pas la première mais la court-circuite dans un cas précis — lorsque l'énoncé demande une vitesse à une position donnée sans rien dire du temps.

L'approche énergétique ignore le détail du trajet. Elle ne dit pas quand le mobile arrive, elle dit à quelle vitesse. Savoir laquelle des deux méthodes employer est, en soi, une compétence évaluée.

Travail et puissance

Le travail d'une force constante sur un déplacement $\overrightarrow{AB}$ est le produit scalaire

Il s'exprime en joules. Le cosinus décide de son signe, et c'est tout ce qu'il faut retenir :

• $\theta$ aigu, travail moteur, positif — la force aide au déplacement ;
• $\theta$ droit, travail nul — c'est le cas de la réaction normale et de la force de Lorentz, qui ne travaillent jamais ;
• $\theta$ obtus, travail résistant, négatif — le frottement, toujours.

Le travail du poids mérite une place à part :

positif à la descente, négatif à la montée, où $h$ est la dénivellation verticale. Le chemin suivi n'intervient pas : monter par un escalier ou par une rampe coûte le même travail au poids. Une force dont le travail ne dépend que des positions de départ et d'arrivée est dite conservative, et c'est à ces forces seulement qu'on peut associer une énergie potentielle.

La puissance est le débit du travail : $\mathcal{P} = W / \Delta t$, en watts, ou $\mathcal{P} = \vec{F} \cdot \vec{v}$ pour la puissance instantanée.

Le théorème de l'énergie cinétique

L'énergie cinétique d'un solide en translation vaut $E_c = \tfrac{1}{2}mv^2$, et le théorème s'énonce ainsi : dans un référentiel galiléen, la variation d'énergie cinétique entre deux instants est égale à la somme des travaux de toutes les forces extérieures.

Une équation scalaire, sans projection ni repère : c'est là tout son intérêt. Elle donne une vitesse en une ligne là où les équations horaires en demandent cinq — à condition que le temps ne figure ni dans les données ni dans la question.

Le mot toutes est le piège de l'énoncé. Oublier le travail résistant du frottement donne une vitesse trop grande, et l'erreur ne se voit pas dans le résultat.

Énergies potentielles et énergie mécanique

À chaque force conservative correspond une énergie potentielle, définie à une constante près — d'où l'obligation de choisir une origine et de l'annoncer.

L'énergie mécanique est leur somme avec l'énergie cinétique :

Elle se conserve lorsque les seules forces qui travaillent sont conservatives. Sinon, sa variation est égale au travail des forces non conservatives :

C'est la formulation la plus utile de tout le chapitre pour les exercices avec frottement : elle donne directement l'énergie dissipée, sans qu'on ait à connaître le détail de la trajectoire.

L'oscillateur harmonique

Un pendule élastique : un solide de masse $m$ accroché à un ressort de raideur $k$, glissant sans frottement sur un plan horizontal. On repère sa position par l'écart $x$ à la position d'équilibre.

La seule force horizontale est la tension du ressort, $F = -kx$ — le signe négatif dit l'essentiel : elle est toujours dirigée vers la position d'équilibre, c'est une force de rappel. Le théorème du centre d'inertie projeté donne

C'est l'équation différentielle $y'' + \omega^2 y = 0$ rencontrée en mathématiques, dont les solutions sont

$X_m$ est l'amplitude et $\varphi$ la phase à l'origine : deux constantes fixées par les conditions initiales, position et vitesse à $t = 0$. La période propre s'en déduit :

Trois remarques que l'énoncé teste régulièrement. La période ne dépend pas de l'amplitude — c'est l'isochronisme des oscillations, et c'est ce qui rend un oscillateur utilisable comme horloge. Elle ne dépend pas non plus des conditions initiales. Et elle croît avec la masse mais décroît avec la raideur, ce qui se contrôle par le bon sens : une masse lourde sur un ressort mou oscille lentement.

Énergétiquement, l'oscillateur échange en permanence énergie cinétique et énergie potentielle élastique, à somme constante :

La dernière égalité s'obtient en se plaçant aux élongations extrêmes, où la vitesse est nulle. Elle donne la vitesse maximale sans aucune dérivation : au passage par l'équilibre, toute l'énergie est cinétique, donc $v_{\max} = X_m\sqrt{k/m} = \omega_0 X_m$.

Le pendule simple

Une masse ponctuelle au bout d'un fil inextensible de longueur $L$ et de masse négligeable. Pour de petites oscillations — l'approximation $\sin\theta \approx \theta$, valable en radians jusqu'à une dizaine de degrés — l'équation prend la même forme que précédemment :

La masse a disparu, encore. Deux pendules de même longueur battent la même seconde, qu'ils portent une bille de plomb ou de liège.

Cette formule s'inverse en

et c'est le TP à préserver quand le matériel manque : un fil, une masse, un mètre et un chronomètre suffisent à mesurer l'intensité de la pesanteur à quelques pour cent près. Le protocole impose de chronométrer 20 oscillations plutôt qu'une seule — le retard de réaction est alors divisé par vingt, et l'exercice ci-dessous en donne la mesure chiffrée.

À vous

// Le TP de référence : on mesure la durée de 20 oscillations
// d'un pendule simple, pour plusieurs longueurs, et on en déduit g.
const mesures = [
  { L: 0.20, t20: 17.9 },
  { L: 0.40, t20: 25.4 },
  { L: 0.60, t20: 31.1 },
  { L: 0.80, t20: 35.9 },
  { L: 1.00, t20: 40.1 },
];

// 1. La période propre, puis g tiré de T = 2*pi*sqrt(L/g).
const periode = (m) => 0;   // à corriger
const gMesure = (m) => 0;   // à corriger

for (const m of mesures) {
  console.log(m.L, periode(m).toFixed(3), gMesure(m).toFixed(2));
}

// attendu, dernière colonne : autour de 9.8 pour chaque ligne

// 2. Pourquoi chronométrer 20 oscillations plutôt qu'une seule ?
//    Simulez une erreur de réaction de 0.2 s sur le chronomètre
//    et comparez l'erreur commise sur g dans les deux cas.

const mesures = [
  { L: 0.20, t20: 17.9 },
  { L: 0.40, t20: 25.4 },
  { L: 0.60, t20: 31.1 },
  { L: 0.80, t20: 35.9 },
  { L: 1.00, t20: 40.1 },
];

const periode = (m) => m.t20 / 20;

// T = 2*pi*sqrt(L/g) s'inverse en g = 4*pi²*L / T². C'est
// l'intérêt du pendule : g n'est pas mesuré directement, il est
// DÉDUIT d'une longueur et d'une durée, deux grandeurs qu'on sait
// mesurer précisément avec un mètre et un chronomètre.
const gMesure = (m) => (4 * Math.PI ** 2 * m.L) / periode(m) ** 2;

for (const m of mesures) {
  console.log(m.L, periode(m).toFixed(3), gMesure(m).toFixed(2));
}
// 0.2 0.895 9.86 | 0.4 1.270 9.79 | 0.6 1.555 9.80
// 0.8 1.795 9.80 | 1   2.005 9.82

// Chronométrer N oscillations divise l'erreur par N : le retard de
// réaction est le même, mais il est réparti sur 20 périodes.
const gAvecErreur = (m, dt, n) =>
  (4 * Math.PI ** 2 * m.L) / ((m.t20 * (n / 20) + dt) / n) ** 2;

const m = mesures[4];
console.log(gMesure(m).toFixed(2));                 // 9.82 — la référence
console.log(gAvecErreur(m, 0.2, 1).toFixed(2));     // 8.14 — 17 % d'écart
console.log(gAvecErreur(m, 0.2, 20).toFixed(2));    // 9.63 — 2 % d'écart

// Un seul geste de protocole, et l'erreur est divisée par vingt.
// C'est la leçon du TP, autant que la valeur de g.

Un exercice de bac

À retenir