Un champ magnétique ne se voit pas, ne pèse rien, et n'agit sur rien de ce qui est immobile. Il ne se manifeste qu'en présence d'une charge en mouvement — un courant dans un fil, un électron lancé dans le vide. C'est ce qui le rend abstrait, et c'est aussi ce qui l'explique : un champ magnétique est ce que voit une charge quand une autre charge se déplace.

Le chapitre installe deux choses : d'où vient le champ, et ce qu'il fait à un conducteur parcouru par un courant.

Le vecteur champ magnétique

En chaque point de l'espace, $\vec{B}$ possède une direction, un sens et une valeur, mesurée en teslas (T). Une aiguille aimantée placée en un point s'oriente selon $\vec{B}$, son pôle nord indiquant le sens.

Les ordres de grandeur méritent d'être connus, ne serait-ce que pour repérer un résultat aberrant :

Un exercice qui produit $B = 500$ T contient une erreur, quelle que soit l'élégance du calcul qui y mène.

Les lignes de champ sont les courbes tangentes en tout point à $\vec{B}$. Elles sortent du pôle nord d'un aimant et y rentrent par le sud, se referment toujours sur elles-mêmes, et ne se croisent jamais — un point ne peut pas avoir deux directions de champ. Là où elles se resserrent, le champ est intense. Un champ est uniforme dans une région où ces lignes sont parallèles et régulièrement espacées : c'est le cas à l'intérieur d'un solénoïde, et c'est ce qui rend cette géométrie omniprésente en exercice.

Les champs créés par des courants

Trois géométries sont au programme, et une seule règle d'orientation.

Le fil rectiligne infini. Les lignes de champ sont des cercles centrés sur le fil, dans des plans perpendiculaires à lui.

Le solénoïde, long devant son diamètre. Le champ y est uniforme à l'intérieur, quasi nul à l'extérieur :

Le point à ne pas manquer : $n$ est le nombre de spires par mètre. Deux solénoïdes de longueurs différentes mais de même densité de spires produisent le même champ, et doubler à la fois $N$ et $\ell$ ne change rien.

La bobine plate de $N$ spires de rayon $R$, en son centre : $B = \mu_0 N I / (2R)$.

L'orientation se retrouve dans les trois cas par la règle du tire-bouchon : on tourne le tire-bouchon dans le sens du courant, il avance dans le sens du champ. Pour un fil on tourne autour du fil ; pour une bobine on tourne dans le sens des spires, et $\vec{B}$ sort par la face nord.

La force de Laplace

Un conducteur de longueur $\ell$, parcouru par un courant $I$, placé dans un champ $\vec{B}$, subit la force

où $\vec{\ell}$ est orienté dans le sens du courant et $\theta$ est l'angle entre le conducteur et le champ.

C'est encore un produit vectoriel, donc encore un trièdre à dessiner. La force est perpendiculaire à la fois au conducteur et au champ, et son sens s'obtient par la règle des trois doigts de la main droite : le pouce dans le sens du courant, l'index dans celui du champ, le majeur donne la force.

Deux conséquences du sinus, et elles se contrôlent l'une par l'autre :

• conducteur perpendiculaire au champ : $\sin\theta = 1$, force maximale $F = BI\ell$ ;
• conducteur parallèle au champ : $\sin\theta = 0$, force nulle.

Ce second cas est le meilleur test d'une expression : un fil placé le long des lignes de champ ne subit rien, et une formule qui prédirait le contraire est fausse.

Le lien avec la force de Lorentz

La force de Laplace n'est pas une force nouvelle. Le courant est un déplacement de porteurs de charge, chacun subissant $q\vec{v} \wedge \vec{B}$ ; la force de Laplace est la somme de ces forces élémentaires, transmise au conducteur par les chocs des porteurs sur le réseau cristallin.

Cela explique un fait autrement mystérieux : pourquoi le fil, globalement neutre, est-il poussé ? Parce que ce sont ses électrons qui sont déviés, et qu'ils entraînent le métal avec eux.

Trois applications

Les rails de Laplace. Une barre conductrice mobile posée sur deux rails horizontaux, dans un champ vertical. Le courant traverse la barre, la force de Laplace la met en mouvement. Le dispositif est simple, quantifiable, et c'est le sujet d'exercice le plus fréquent du chapitre — il combine la force de Laplace avec le théorème du centre d'inertie du chapitre 2.

Le moteur à courant continu. Un cadre parcouru par un courant, dans un champ : les deux côtés perpendiculaires au champ subissent des forces opposées, qui ne se compensent pas en moment. Le cadre tourne. Le collecteur inverse le courant à chaque demi-tour, sans quoi le cadre oscillerait autour de sa position d'équilibre au lieu de tourner.

Le haut-parleur. Une bobine mobile dans l'entrefer d'un aimant permanent : le courant audio y crée une force de Laplace variable, la membrane suit, l'air est mis en mouvement.

À vous

// Un solénoïde de 40 cm de long comporte 800 spires et est
// parcouru par un courant I. À l'intérieur, une barre conductrice
// de longueur L, perpendiculaire au champ, porte un courant i.
const MU0 = 4 * Math.PI * 1e-7;

// 1. Le champ à l'intérieur du solénoïde ne dépend que du nombre
//    de spires PAR MÈTRE, jamais de la longueur seule.
const champSolenoide = (N, longueur, I) => 0;  // à corriger

// 2. La force de Laplace sur une portion de conducteur.
//    theta est l'angle entre le conducteur et le champ.
const laplace = (B, i, L, theta) => 0;         // à corriger

const B = champSolenoide(800, 0.40, 2.5);
console.log(B.toExponential(2));               // attendu : 6.28e-3

const rad = (d) => (d * Math.PI) / 180;
console.log(laplace(B, 4.0, 0.10, rad(90)).toExponential(2)); // 2.51e-3
console.log(laplace(B, 4.0, 0.10, rad(30)).toExponential(2)); // ?
console.log(laplace(B, 4.0, 0.10, rad(0)).toExponential(2));  // ?

// 3. Que devient le champ si l'on double à la fois le nombre de
//    spires ET la longueur du solénoïde ?

const MU0 = 4 * Math.PI * 1e-7;

// B = mu0 * n * I, où n = N/longueur est la densité linéique de
// spires. C'est la seule formule du chapitre où la géométrie se
// résume à un rapport.
const champSolenoide = (N, longueur, I) => (MU0 * N * I) / longueur;

// F = B * i * L * sin(theta). Le sinus vient du produit vectoriel :
// la force est maximale quand le conducteur est perpendiculaire au
// champ, et NULLE quand il lui est parallèle.
const laplace = (B, i, L, theta) => B * i * L * Math.sin(theta);

const B = champSolenoide(800, 0.40, 2.5);
console.log(B.toExponential(2));               // 6.28e-3 T

const rad = (d) => (d * Math.PI) / 180;
console.log(laplace(B, 4.0, 0.10, rad(90)).toExponential(2)); // 2.51e-3 N
console.log(laplace(B, 4.0, 0.10, rad(30)).toExponential(2)); // 1.26e-3 N
console.log(laplace(B, 4.0, 0.10, rad(0)).toExponential(2));  // 0.00e+0 N

// Un conducteur placé LE LONG des lignes de champ ne subit aucune
// force. C'est le contrôle qui distingue une erreur de sinus d'une
// erreur de cosinus, sans avoir à retenir laquelle va où.

// Doubler N et la longueur laisse n = N/longueur inchangé, donc B
// aussi : deux solénoïdes de tailles différentes mais de même
// densité de spires produisent le même champ.
console.log(champSolenoide(1600, 0.80, 2.5).toExponential(2));  // 6.28e-3

Un exercice de bac

À retenir

Le chapitre précédent partait d'un courant pour obtenir une force. Celui-ci fait le chemin inverse : à partir d'un mouvement, ou d'un champ qui varie, il fabrique un courant. C'est le phénomène sur lequel repose toute la production d'électricité — sans lui, ni alternateur, ni transformateur, ni recharge sans contact.

Une seule idée le porte, et elle est plus subtile qu'il n'y paraît : ce n'est pas le champ magnétique qui crée un courant, c'est sa variation.

Le flux magnétique

Le flux à travers une surface plane $S$ dont la normale fait l'angle $\theta$ avec $\vec{B}$ vaut

et $N\,B\,S\cos\theta$ pour une bobine de $N$ spires. Le flux mesure, intuitivement, le nombre de lignes de champ qui traversent la surface : maximal quand la surface leur est perpendiculaire ($\theta = 0$), nul quand elle leur est parallèle ($\theta = 90°$), et le cosinus fait le lien.

De cette écriture découlent les trois façons de faire varier un flux, et tout exercice du chapitre en exploite une :

1. faire varier $B$ — approcher un aimant, alimenter un électroaimant en courant variable ;
2. faire varier $S$ — déformer un circuit, déplacer une barre sur des rails ;
3. faire varier $\theta$ — faire tourner une bobine dans un champ fixe.

Le troisième cas est celui de l'alternateur, et il produit une tension sinusoïdale par la seule vertu du cosinus.

Les deux lois de l'induction

La loi de Lenz donne le sens, et elle s'énonce en une phrase : le courant induit s'oppose, par ses effets, à la cause qui lui a donné naissance.

C'est une loi qualitative, mais c'est elle qui répond à la question posée en copie. Si l'on approche le pôle nord d'un aimant d'une bobine, le courant induit s'établit de manière à créer une face nord en regard — pour repousser l'aimant. On l'éloigne : le courant s'inverse pour l'attirer et le retenir. Le courant induit freine toujours ce qui le crée, et c'est ce qui rend l'induction compatible avec la conservation de l'énergie : il faut fournir un travail mécanique pour produire de l'électricité.

La loi de Faraday donne la valeur :

Le signe moins est la loi de Lenz, écrite mathématiquement. La force électromotrice induite $e$ s'exprime en volts, et elle est d'autant plus grande que le flux varie vite — non qu'il soit grand.

C'est la confusion centrale du chapitre : un flux énorme mais constant ne produit aucune tension, tandis qu'un flux faible qui s'annule brutalement en produit une considérable. On le vérifie sur l'alternateur, où la f.é.m. est maximale précisément à l'instant où le flux passe par zéro.

L'alternateur

Une bobine de $N$ spires, de surface $S$, tournant à la vitesse angulaire $\omega$ dans un champ uniforme $B$. L'angle vaut $\theta = \omega t$, donc

Une rotation uniforme produit une tension sinusoïdale. C'est de là — et non d'un choix technique arbitraire — que vient le courant alternatif du chapitre suivant : c'est la forme que prend naturellement l'électricité produite par une machine tournante.

L'amplitude $E_m = NBS\omega$ croît avec la vitesse de rotation : un alternateur qui tourne plus vite délivre une tension plus élevée et de fréquence plus haute, ce qui explique la régulation stricte de la vitesse des alternateurs d'une centrale.

Auto-induction

Une bobine parcourue par un courant crée son propre champ, donc son propre flux à travers elle-même. Si le courant varie, ce flux varie, et la bobine induit en elle-même une f.é.m. qui s'oppose à cette variation.

Le coefficient $L$ est l'inductance, en henrys (H). Elle ne dépend que de la géométrie de la bobine et du milieu, jamais du courant.

La conséquence pratique est visible : une bobine s'oppose aux variations brutales de courant. À la fermeture d'un circuit, le courant s'établit progressivement ; à l'ouverture, la bobine tente de le maintenir, ce qui provoque l'étincelle bien connue à l'interrupteur. Une bobine est, pour le courant, ce que l'inertie est pour la vitesse.

Elle emmagasine pour cela une énergie :

à comparer terme à terme avec $\tfrac{1}{2}mv^2$ — l'analogie est exacte, et elle aide à retenir laquelle des deux formules porte le facteur un demi.

Le transformateur, et les courants de Foucault

Deux bobines enroulées sur un même circuit magnétique : le primaire, alimenté en alternatif, crée un flux variable ; le secondaire, traversé par ce flux, voit apparaître une f.é.m. Le rapport des tensions est celui des nombres de spires.

Un transformateur ne fonctionne qu'en alternatif : en continu, le flux serait constant et rien ne serait induit. C'est la raison technique pour laquelle le transport de l'électricité se fait en alternatif — élever la tension pour limiter les pertes par effet Joule, puis l'abaisser à l'arrivée, n'est possible que sous cette forme.

Dans une masse métallique soumise à un flux variable, les courants induits circulent en boucles fermées : ce sont les courants de Foucault. Ils dissipent de l'énergie par effet Joule — nuisible dans un transformateur, où l'on feuillette le noyau pour les limiter ; utile dans le freinage électromagnétique des poids lourds, où l'on cherche justement à convertir l'énergie cinétique en chaleur sans contact ni usure.

À vous

// Une bobine plate de N spires, de surface S, tourne à la vitesse
// angulaire omega dans un champ magnétique uniforme B.
// C'est le principe de l'alternateur.
const N = 200, S = 2.0e-2, B = 0.15, omega = 314; // rad/s

// 1. Le flux à travers la bobine, à la date t.
const flux = (t) => 0;        // à corriger

// 2. La force électromotrice induite. Faites-la dériver
//    NUMÉRIQUEMENT du flux, puis comparez à l'expression exacte :
//    si les deux coïncident, la loi de Faraday est bien comprise.
const h = 1e-6;
const femNumerique = (t) => 0;  // à corriger, par taux d'accroissement
const femExacte = (t) => 0;     // à corriger, par dérivation à la main

for (const t of [0, 0.005, 0.01]) {
  console.log(femNumerique(t).toFixed(3), femExacte(t).toFixed(3));
}
// les deux colonnes doivent coïncider

// 3. La valeur maximale de la f.é.m., puis sa valeur efficace.

const N = 200, S = 2.0e-2, B = 0.15, omega = 314;

// Le flux à travers N spires : Phi = N * B * S * cos(theta), avec
// theta = omega*t l'angle entre la normale à la bobine et le champ.
const flux = (t) => N * B * S * Math.cos(omega * t);

// La loi de Faraday : e = -dPhi/dt. Le signe moins EST la loi de
// Lenz — l'induction s'oppose à la cause qui lui donne naissance.
const h = 1e-6;
const femNumerique = (t) => -(flux(t + h) - flux(t - h)) / (2 * h);

// À la main : la dérivée de cos(omega*t) vaut -omega*sin(omega*t),
// et les deux signes moins se compensent.
const femExacte = (t) => N * B * S * omega * Math.sin(omega * t);

for (const t of [0, 0.005, 0.01]) {
  console.log(femNumerique(t).toFixed(3), femExacte(t).toFixed(3));
}
// 0.000 0.000 | 94.198 94.198 | -0.052 -0.052

// Une rotation uniforme produit une f.é.m. SINUSOÏDALE : c'est
// d'ici que vient le courant alternatif du chapitre suivant, et
// non d'un choix technique.
const eMax = N * B * S * omega;
console.log(eMax.toFixed(1));              // 94.2 V
console.log((eMax / Math.SQRT2).toFixed(1)); // 66.6 V efficaces

// Remarquer où la f.é.m. est maximale : en t = 0.005 s, le flux
// passe par ZÉRO. Ce n'est pas le flux qui crée la tension, c'est
// sa VARIATION — la confusion la plus fréquente du chapitre.
console.log(flux(0.005).toExponential(2)); // ~0

Un exercice de bac

À retenir

Le chapitre précédent a montré d'où vient le courant alternatif : une bobine qui tourne dans un champ produit une tension sinusoïdale, et rien d'autre. Reste à savoir comment un circuit y répond — et la réponse n'est pas celle du continu, parce qu'une bobine et un condensateur, qui ne font rien de particulier sous tension constante, deviennent ici des acteurs à part entière.

C'est aussi le chapitre le plus exigeant du programme sur le plan technique. Il réclame les nombres complexes ou, à défaut, la construction de Fresnel — et c'est elle qui coince chaque année. La raison est identifiable : on la présente comme une figure fixe, alors qu'elle n'a de sens que déformée.

Grandeurs sinusoïdales

Une tension alternative sinusoïdale s'écrit

avec $U_m$ l'amplitude, $\omega = 2\pi f$ la pulsation en rad/s, et $\varphi$ la phase à l'origine. La période vaut $T = 2\pi/\omega = 1/f$.

Les appareils de mesure n'indiquent ni l'amplitude ni la valeur moyenne — qui est nulle — mais la valeur efficace :

Sa définition est physique et mérite d'être connue : la valeur efficace d'un courant alternatif est l'intensité du courant continu qui dissiperait la même puissance dans la même résistance. C'est pourquoi les $230$ V du secteur sont une valeur efficace, l'amplitude réelle atteignant $325$ V.

Le comportement des trois dipôles

C'est le cœur du chapitre, et il tient en un tableau. Dans un circuit série, l'intensité est la même partout : on la prend comme référence des phases.

Les deux dernières lignes ne s'apprennent pas isolément : elles se déduisent des relations de définition. Dériver un cosinus donne un sinus, c'est-à-dire un quart de tour d'avance ; intégrer le retarde d'autant. La bobine dérive, le condensateur intègre, et leurs déphasages sont donc opposés — c'est cette opposition qui produira la résonance.

Deux comportements limites en découlent, et ils suffisent souvent à répondre sans calcul :

• à basse fréquence, $L\omega \to 0$ (la bobine devient un fil) et $1/C\omega \to \infty$ (le condensateur bloque) ;
• à haute fréquence, c'est l'inverse : la bobine bloque, le condensateur laisse passer.

Le circuit RLC série et la construction de Fresnel

Les trois dipôles en série, sous une tension $u$ de pulsation $\omega$. On représente chaque tension par un vecteur : longueur proportionnelle à la valeur efficace, angle égal au déphasage par rapport à l'intensité.

L'addition des tensions instantanées devient alors une addition vectorielle. Et parce que $\vec{U_L}$ et $\vec{U_C}$ pointent en sens opposés, seule leur différence subsiste : le triangle obtenu est rectangle, et Pythagore donne tout.

Ces formules ne se retiennent pas, elles se lisent sur la figure — et c'est pourquoi il faut tracer le diagramme avant de calculer quoi que ce soit. Une copie qui écrit directement la formule de $Z$ sans figure se trompe de signe une fois sur deux.

Le signe de $\varphi$ nomme le comportement du circuit :

• $L\omega > 1/C\omega$ : le circuit est inductif, la tension est en avance sur le courant ;
• $L\omega < 1/C\omega$ : il est capacitif, la tension est en retard.

La résonance

Lorsque la réactance s'annule, l'impédance tombe à sa valeur minimale $R$ et l'intensité devient maximale. C'est la résonance d'intensité, obtenue pour

À cette pulsation, et à elle seule :

Le circuit se comporte comme une simple résistance : les effets de la bobine et du condensateur ne disparaissent pas, ils se compensent exactement.

C'est là qu'intervient le phénomène le plus contre-intuitif du chapitre. À la résonance, les tensions aux bornes de $L$ et de $C$ peuvent dépasser largement celle du générateur — d'un facteur $Q = L\omega_0/R$, le facteur de qualité. Un circuit alimenté sous $24$ V peut porter $60$ V aux bornes de sa bobine. Il n'y a pas de contradiction : ces deux tensions sont opposées et leur somme reste nulle. C'est aussi ce qui rend la résonance dangereuse en pratique, et ce qui la rend utile en radio, où elle permet de sélectionner une station parmi toutes celles que capte l'antenne.

Plus $R$ est petite, plus la résonance est aiguë : la courbe $I(\omega)$ est étroite, la sélectivité grande. Une résistance élevée l'amortit et l'aplatit.

Puissance et facteur de puissance

La puissance moyenne consommée n'est pas le produit des valeurs efficaces : il faut la corriger par $\cos\varphi$, le facteur de puissance. Cela tient à ce que la bobine et le condensateur ne consomment rien en moyenne — ils stockent l'énergie pendant un quart de période et la restituent pendant le suivant. Seule la résistance dissipe, et l'on peut d'ailleurs écrire $\mathcal{P} = R\,I^2$.

Un facteur de puissance faible signifie qu'un fort courant circule pour peu de puissance utile : les pertes en ligne, en $R I^2$, augmentent sans contrepartie. C'est pourquoi les distributeurs facturent aux industriels un $\cos\varphi$ trop bas, et pourquoi on le corrige en ajoutant des condensateurs aux installations à moteurs, fortement inductives.

À vous

// Un circuit RLC série : R = 40 ohms, L = 0.20 H, C = 20 µF,
// alimenté sous une tension efficace U = 24 V.
const R = 40, L = 0.20, C = 20e-6, U = 24;

// 1. Les trois impédances, puis celle du circuit entier.
//    Attention : les impédances ne s'additionnent PAS.
const impedance = (omega) => 0;   // à corriger
const dephasage = (omega) => 0;   // en radians, à corriger

// 2. L'intensité efficace, et la pulsation de résonance.
const intensite = (omega) => 0;   // à corriger

const w = 250;
console.log(impedance(w).toFixed(1), (dephasage(w) * 180 / Math.PI).toFixed(1));
// attendu : 50.0  -36.9

// 3. Balayez la pulsation et trouvez celle qui maximise l'intensité.
//    Comparez-la à 1/sqrt(L*C).

const R = 40, L = 0.20, C = 20e-6, U = 24;

// La construction de Fresnel donne le théorème de Pythagore :
// la tension aux bornes de R est en phase avec i, celles de L et
// de C lui sont perpendiculaires et OPPOSÉES entre elles. D'où la
// différence Lw - 1/(Cw), et non leur somme.
const reactance = (omega) => L * omega - 1 / (C * omega);
const impedance = (omega) => Math.hypot(R, reactance(omega));
const dephasage = (omega) => Math.atan2(reactance(omega), R);
const intensite = (omega) => U / impedance(omega);

const w = 250;
console.log(impedance(w).toFixed(1), (dephasage(w) * 180 / Math.PI).toFixed(1));
// 50.0  -36.9 — la réactance est négative : le circuit est
// capacitif, la tension est en RETARD sur l'intensité.

// À la résonance, la réactance s'annule : les effets de L et de C
// se compensent exactement, l'impédance tombe à R et l'intensité
// est maximale. Le circuit se comporte comme une simple résistance.
let meilleure = 1;
for (let x = 1; x < 1000; x += 0.1) {
  if (intensite(x) > intensite(meilleure)) meilleure = x;
}
const w0 = 1 / Math.sqrt(L * C);
console.log(meilleure.toFixed(1), w0.toFixed(1));   // 500.0 500.0
console.log(impedance(w0).toFixed(1));              // 40.0 — soit R
console.log(intensite(w0).toFixed(2));              // 0.60 A
console.log((dephasage(w0) * 180 / Math.PI).toFixed(1)); // 0.0

// Le piège du chapitre : à la résonance, les tensions aux bornes
// de L et de C peuvent DÉPASSER largement celle du générateur.
// Elles s'opposent, donc leur somme reste nulle.
const i0 = intensite(w0);
console.log((L * w0 * i0).toFixed(1), (i0 / (C * w0)).toFixed(1)); // 60.0 60.0

Un exercice de bac

À retenir