Mathématiques · C2 Analyse · Chapitre 8 · 5 h

Sujets types — Analyse

Problèmes de bac : étude de fonction, suite associée, calcul d'aire.

Le bloc d'analyse fournit sept outils. Un sujet de baccalauréat n'en isole jamais un seul : il enchaîne une étude de fonction, une suite qui en découle, une intégrale qui mesure une aire. La difficulté n'est pas technique, elle est d'ordonnancement — savoir quelle question prépare la suivante.

Chaque sujet ci-dessous est donné entier, puis conduit jusqu'au bout.

Sujet 1 — Étude d'une fonction avec exponentielle

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x-1)e^{-x}$ .

Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$ , et en déduire une asymptote.

Étudier les variations de $f$ .

Montrer que l'équation $f(x) = 0{,}1$ admet une unique solution sur $[1;+\infty[$ .

Question 1. En $-\infty$ : $x - 1 \to -\infty$ et $e^{-x} \to +\infty$ , donc le produit tend vers $-\infty$ . Aucune indétermination.

En $+\infty$ : $x-1 \to +\infty$ et $e^{-x} \to 0$ , forme $\infty \times 0$ . On développe pour faire apparaître une croissance comparée :

f(x) = \frac{x}{e^{x}} - \frac{1}{e^{x}}

Le premier terme tend vers 0 par croissance comparée, le second aussi. Donc $f(x) \to 0$ , et l'axe des abscisses est asymptote horizontale en $+\infty$ .

Question 2. $f$ est un produit :

f'(x) = 1 \cdot e^{-x} + (x-1)\cdot(-e^{-x}) = e^{-x}\left(1 - (x-1)\right) = (2-x)e^{-x}

Comme $e^{-x} > 0$ , le signe de $f'$ est celui de $2 - x$ : $f$ croît sur $]-\infty;2]$ , décroît sur $[2;+\infty[$ , et admet un maximum $f(2) = e^{-2} \approx 0{,}135$ .

Question 3. Sur $[1;+\infty[$ , il faut d'abord découper : $f$ croît sur $[1;2]$ puis décroît sur $[2;+\infty[$ . Le maximum $0{,}135$ dépasse $0{,}1$ , donc la valeur est atteinte deux fois sur $[1;+\infty[$ — une fois sur chaque branche monotone.

L'énoncé annonce l'unicité : c'est qu'il attend l'étude sur l'une des deux branches seulement, ou qu'il faut le contredire. Dans les deux cas, le tableau de variations tranche, et c'est pourquoi il précède toujours ce genre de question.

Quiz · 1 question

Pour appliquer le théorème de la bijection sur [1 ; +∞[, que faut-il vérifier d'abord ?

Que f est continue et que les valeurs aux bornes encadrent 0,1 — TVI simple
Que f est continue ET strictement monotone sur l'intervalle considéré — bijection
Que f est dérivable, ce qui suffit — dérivabilité

Réponse : Sans stricte monotonie, le théorème ne donne que l'existence — et ici f n'est pas monotone sur [1;+∞[, elle change de sens en 2. Il faut donc découper en [1;2] et [2;+∞[ et appliquer le théorème sur chaque morceau.

Sujet 2 — Une suite récurrente

On définit $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ .

Démontrer que pour tout $n$ , $0 \leqslant u_n \leqslant 2$ .

Démontrer que $(u_n)$ est croissante.

En déduire qu'elle converge, et calculer sa limite.

Question 1. Par récurrence. Au rang 0 : $0 \leqslant 0 \leqslant 2$ . Hérédité : si $0 \leqslant u_k \leqslant 2$ , alors $2 \leqslant u_k + 2 \leqslant 4$ , et la fonction racine étant croissante, $\sqrt{2} \leqslant u_{k+1} \leqslant 2$ . En particulier $0 \leqslant u_{k+1} \leqslant 2$ .

La croissance de la racine est ce qui autorise le passage à l'inégalité. Sans elle, l'implication tombe — c'est la justification qu'on omet et qu'on doit écrire.

Question 2. On étudie le signe de $u_{n+1} - u_n = \sqrt{u_n+2} - u_n$ . Avec $x = u_n \in [0;2]$ , le signe de $\sqrt{x+2} - x$ est celui de $x + 2 - x^2$ après passage au carré — licite car les deux quantités sont positives sur $[0;2]$ . Le trinôme $-x^2 + x + 2$ a pour racines $-1$ et 2, et il est positif entre ses racines, donc sur $[0;2]$ . La suite est croissante.

Question 3. Croissante et majorée par 2 : elle converge par le théorème de convergence monotone. Sa limite $\ell$ vérifie $\ell = \sqrt{\ell + 2}$ , soit $\ell^2 - \ell - 2 = 0$ , dont les racines sont $-1$ et 2. La limite d'une suite positive ne peut être négative : $\ell = 2$ .

Le tri final entre les deux racines n'est pas facultatif. C'est l'encadrement de la question 1 qui le permet, et c'est pour cela qu'elle vient en premier.

Quiz · 1 question

Pourquoi la question 1 doit-elle précéder la question 3 ?

Pour fournir le majorant du théorème de convergence monotone, et pour trier les racines du point fixe — deux usages
Uniquement pour prouver que la suite est bien définie — existence
Par convention de rédaction, l'ordre est indifférent — convention

Réponse : L'encadrement sert deux fois : il donne le majorant sans lequel le théorème ne s'applique pas, puis il élimine la racine −1. Un énoncé de baccalauréat est une progression ; chaque question prépare une suivante.

Sujet 3 — Intégrale et aire

Soit $g(x) = x e^{-x}$ sur $[0;3]$ .

Calculer $\int_0^3 g(x)\,\mathrm{d}x$ par une intégration par parties.

Interpréter graphiquement le résultat.

Question 1. On pose $v = x$ et $u' = e^{-x}$ , donc $v' = 1$ et $u = -e^{-x}$ . Le choix est dicté par le fait que $v = x$ se simplifie en dérivant.

\int_0^3 x e^{-x}\,\mathrm{d}x = \Big[-x e^{-x}\Big]_0^3 + \int_0^3 e^{-x}\,\mathrm{d}x = -3e^{-3} + \Big[-e^{-x}\Big]_0^3 = -3e^{-3} - e^{-3} + 1

soit $1 - 4e^{-3} \approx 0{,}801$ .

Question 2. Sur $[0;3]$ , $g$ est positive : l'intégrale est donc l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites $x=0$ et $x=3$ .

La positivité doit être vérifiée, pas supposée. Sur un intervalle où $g$ changerait de signe, l'intégrale ne serait plus l'aire, et la réponse serait fausse.

Sujet 4 — Un refroidissement

Un corps à $80\,^\circ\mathrm{C}$ est placé dans une pièce à $20\,^\circ\mathrm{C}$ . Sa température vérifie $\theta'(t) = -0{,}1\left(\theta(t) - 20\right)$ , $t$ en minutes. Déterminer $\theta(t)$ , puis le temps au bout duquel le corps atteint $30\,^\circ\mathrm{C}$ .

L'équation est un $y' = ay + b$ déguisé : $\theta' = -0{,}1\,\theta + 2$ . La solution constante vérifie $0 = -0{,}1\,\theta + 2$ , soit $\theta = 20$ — la température de la pièce, ce qui était prévisible.

\theta(t) = C e^{-0,1t} + 20

La condition $\theta(0) = 80$ donne $C = 60$ . Puis $\theta(t) = 30$ équivaut à $60e^{-0,1t} = 10$ , soit $e^{-0,1t} = 1/6$ , d'où

t = \frac{\ln 6}{0{,}1} \approx 17{,}9 \text{ minutes}

Le passage au logarithme est le seul geste possible pour extraire un exposant : c'est l'usage pour lequel il a été construit.

QCM du bloc

QCM de bloc · 7 questions

Bloc II — Analyse

1. Une suite est décroissante et minorée par −5. Que peut-on affirmer avec certitude ?

Elle converge vers −5
Elle converge vers un réel supérieur ou égal à −5
Elle diverge vers −∞

Réponse : Le théorème de convergence monotone donne l'existence de la limite, jamais sa valeur. Elle est nécessairement ≥ −5, mais peut valoir n'importe quoi au-dessus. Conclure « vers −5 » confond le minorant et la limite.

2. f est continue sur [2 ; 5], f(2) = 7 et f(5) = 1. L'équation f(x) = 4 admet-elle une solution ?

Oui, exactement une
Oui, au moins une
On ne peut rien dire sans connaître f

Réponse : 4 est compris entre f(5) = 1 et f(2) = 7, et f est continue : le TVI donne l'existence. L'unicité exigerait la stricte monotonie, dont l'énoncé ne dit rien — f pourrait osciller et traverser 4 plusieurs fois.

3. Quelle est la dérivée de ln(x² + 1) ?

1/(x² + 1)
2x/(x² + 1)
2x·ln(x² + 1)

Réponse : (ln u)' = u'/u avec u = x² + 1, donc u' = 2x. Répondre 1/(x²+1) revient à oublier le facteur u' — l'erreur la plus coûteuse de tout le bloc, parce qu'elle se glisse dans chaque étude de fonction composée.

4. Quel est l'ensemble de définition de x ↦ ln(x² − 4) ?

]2 ; +∞[
]−∞ ; −2[ ∪ ]2 ; +∞[
ℝ privé de −2 et 2

Réponse : Il faut x² − 4 > 0, soit x² > 4, ce qui donne x < −2 OU x > 2. Ne garder que la branche positive est l'oubli classique : un trinôme positif « à l'extérieur des racines » a bien deux morceaux.

5. Combien de solutions réelles a l'équation e^x = −5 ?

Une, égale à ln(−5)
Aucune
Deux, par symétrie

Réponse : L'exponentielle est strictement positive sur ℝ : elle ne prend jamais de valeur négative. Le constater est la réponse complète — et ln(−5) n'existe pas, ce qui devrait alerter avant même de conclure.

6. L'intégrale de f entre 0 et 4 vaut 0. Que peut-on en déduire ?

f est nulle sur [0 ; 4]
L'aire entre la courbe et l'axe est nulle
Les parties au-dessus et en dessous de l'axe ont des aires égales

Réponse : L'intégrale compte négativement ce qui est sous l'axe. Une intégrale nulle signale une compensation exacte, pas une fonction nulle ni une aire nulle. Pour l'aire, on découpe aux racines et on somme les valeurs absolues.

7. Quelles sont les solutions de y' = 5y + 10 ?

y = C·e^(5x)
y = C·e^(5x) − 2
y = C·e^(5x) + 10

Réponse : Solution générale de y' = 5y, plus la solution constante : 0 = 5y + 10 donne y = −2. Oublier la solution particulière, ou reporter le second membre tel quel, sont les deux erreurs que la structure « générale + particulière » est faite d'empêcher.

Les gestes du bloc

L'énoncé demande…	Le geste
une limite en forme $\infty/\infty$	factoriser par le terme dominant
une limite avec $\ln$ ou $e$	citer la croissance comparée
« montrer que l'équation admet une unique solution »	continuité et stricte monotonie
une suite $u_{n+1}=f(u_n)$	encadrement, monotonie, convergence monotone, point fixe
une intégrale avec un produit	intégration par parties, en dérivant ce qui se simplifie
une aire	vérifier le signe, découper aux racines
« la vitesse de… est proportionnelle à… »	équation différentielle $y' = ay + b$

À retenir

Flashcards · 4 cartes

Dans une étude de fonction, quelle étape décide de la réussite ?: Le signe de la dérivée. Une dérivée mal factorisée rend le tableau illisible et fait échouer tout ce qui suit, même correctement mené.
Pourquoi une question d'encadrement précède-t-elle toujours une question de limite ?: Parce qu'elle fournit le majorant du théorème de convergence monotone, puis sert à trier les racines de l'équation du point fixe.
Une intégrale est-elle une aire ?: Seulement si la fonction est positive sur l'intervalle. Cette vérification fait partie de la réponse, elle ne se suppose pas.
Comment reconnaître une équation différentielle dans un énoncé de sciences ?: À la formule « la vitesse de variation est proportionnelle à… ». Refroidissement, désintégration, charge d'un condensateur : tous des y' = ay + b.