Sujets types — Analyse

Le bloc d'analyse fournit sept outils. Un sujet de baccalauréat n'en isole jamais un seul : il enchaîne une étude de fonction, une suite qui en découle, une intégrale qui mesure une aire. La difficulté n'est pas technique, elle est d'ordonnancement — savoir quelle question prépare la suivante.

Chaque sujet ci-dessous est donné entier, puis conduit jusqu'au bout.

Sujet 1 — Étude d'une fonction avec exponentielle

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x-1)e^{-x}$.

1. Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$, et en déduire une asymptote.
2. Étudier les variations de $f$.
3. Montrer que l'équation $f(x) = 0{,}1$ admet une unique solution sur $[1;+\infty[$.

Question 1. En $-\infty$ : $x - 1 \to -\infty$ et $e^{-x} \to +\infty$, donc le produit tend vers $-\infty$. Aucune indétermination.

En $+\infty$ : $x-1 \to +\infty$ et $e^{-x} \to 0$, forme $\infty \times 0$. On développe pour faire apparaître une croissance comparée :

Le premier terme tend vers 0 par croissance comparée, le second aussi. Donc $f(x) \to 0$, et l'axe des abscisses est asymptote horizontale en $+\infty$.

Question 2. $f$ est un produit :

Comme $e^{-x} > 0$, le signe de $f'$ est celui de $2 - x$ : $f$ croît sur $]-\infty;2]$, décroît sur $[2;+\infty[$, et admet un maximum $f(2) = e^{-2} \approx 0{,}135$.

Question 3. Sur $[1;+\infty[$, il faut d'abord découper : $f$ croît sur $[1;2]$ puis décroît sur $[2;+\infty[$. Le maximum $0{,}135$ dépasse $0{,}1$, donc la valeur est atteinte deux fois sur $[1;+\infty[$ — une fois sur chaque branche monotone.

L'énoncé annonce l'unicité : c'est qu'il attend l'étude sur l'une des deux branches seulement, ou qu'il faut le contredire. Dans les deux cas, le tableau de variations tranche, et c'est pourquoi il précède toujours ce genre de question.

Sujet 2 — Une suite récurrente

On définit $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$.

1. Démontrer que pour tout $n$, $0 \leqslant u_n \leqslant 2$.
2. Démontrer que $(u_n)$ est croissante.
3. En déduire qu'elle converge, et calculer sa limite.

Question 1. Par récurrence. Au rang 0 : $0 \leqslant 0 \leqslant 2$. Hérédité : si $0 \leqslant u_k \leqslant 2$, alors $2 \leqslant u_k + 2 \leqslant 4$, et la fonction racine étant croissante, $\sqrt{2} \leqslant u_{k+1} \leqslant 2$. En particulier $0 \leqslant u_{k+1} \leqslant 2$.

La croissance de la racine est ce qui autorise le passage à l'inégalité. Sans elle, l'implication tombe — c'est la justification qu'on omet et qu'on doit écrire.

Question 2. On étudie le signe de $u_{n+1} - u_n = \sqrt{u_n+2} - u_n$. Avec $x = u_n \in [0;2]$, le signe de $\sqrt{x+2} - x$ est celui de $x + 2 - x^2$ après passage au carré — licite car les deux quantités sont positives sur $[0;2]$. Le trinôme $-x^2 + x + 2$ a pour racines $-1$ et 2, et il est positif entre ses racines, donc sur $[0;2]$. La suite est croissante.

Question 3. Croissante et majorée par 2 : elle converge par le théorème de convergence monotone. Sa limite $\ell$ vérifie $\ell = \sqrt{\ell + 2}$, soit $\ell^2 - \ell - 2 = 0$, dont les racines sont $-1$ et 2. La limite d'une suite positive ne peut être négative : $\ell = 2$.

Le tri final entre les deux racines n'est pas facultatif. C'est l'encadrement de la question 1 qui le permet, et c'est pour cela qu'elle vient en premier.

Sujet 3 — Intégrale et aire

Soit $g(x) = x e^{-x}$ sur $[0;3]$.

1. Calculer $\int_0^3 g(x)\,\mathrm{d}x$ par une intégration par parties.
2. Interpréter graphiquement le résultat.

Question 1. On pose $v = x$ et $u' = e^{-x}$, donc $v' = 1$ et $u = -e^{-x}$. Le choix est dicté par le fait que $v = x$ se simplifie en dérivant.

soit $1 - 4e^{-3} \approx 0{,}801$.

Question 2. Sur $[0;3]$, $g$ est positive : l'intégrale est donc l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites $x=0$ et $x=3$.

La positivité doit être vérifiée, pas supposée. Sur un intervalle où $g$ changerait de signe, l'intégrale ne serait plus l'aire, et la réponse serait fausse.

Sujet 4 — Un refroidissement

Un corps à $80\,^\circ\mathrm{C}$ est placé dans une pièce à $20\,^\circ\mathrm{C}$. Sa température vérifie $\theta'(t) = -0{,}1\left(\theta(t) - 20\right)$, $t$ en minutes. Déterminer $\theta(t)$, puis le temps au bout duquel le corps atteint $30\,^\circ\mathrm{C}$.

L'équation est un $y' = ay + b$ déguisé : $\theta' = -0{,}1\,\theta + 2$. La solution constante vérifie $0 = -0{,}1\,\theta + 2$, soit $\theta = 20$ — la température de la pièce, ce qui était prévisible.

La condition $\theta(0) = 80$ donne $C = 60$. Puis $\theta(t) = 30$ équivaut à $60e^{-0,1t} = 10$, soit $e^{-0,1t} = 1/6$, d'où

Le passage au logarithme est le seul geste possible pour extraire un exposant : c'est l'usage pour lequel il a été construit.

QCM du bloc

Les gestes du bloc

À retenir