Sujets types — Arithmétique et probabilités

Le dernier bloc réunit trois chapitres qui n'ont pas grand-chose en commun, sauf une exigence : on n'y calcule rien avant d'avoir vérifié les hypothèses. Gauss demande une primalité relative, la loi binomiale trois conditions, l'ajustement affine un nuage effectivement aligné. Un résultat obtenu sans ces vérifications n'est pas approximatif, il est faux.

Sujet 1 — Une équation diophantienne

Résoudre dans $\mathbb{Z}^2$ l'équation $17x + 40y = 1$.

Existence. $\operatorname{pgcd}(17,40)$ : par l'algorithme d'Euclide, $40 = 2\times17+6$, $17 = 2\times6+5$, $6 = 1\times5+1$, $5 = 5\times1+0$. Le PGCD vaut 1, qui divise 1 : il y a des solutions.

Solution particulière. On remonte les divisions :

d'où $17\times(-7) + 40\times 3 = 1$ : le couple $(-7\,;3)$ convient.

Solution générale. En soustrayant l'équation particulière de l'équation générale :

17 divise $40(y-3)$ et 17 est premier avec 40, donc par le théorème de Gauss 17 divise $y - 3$. On pose $y = 3 + 17k$, d'où $x = -7 - 40k$.

Gauss est l'articulation du raisonnement, et l'omettre laisse la conclusion sans justification — c'est le point que les corrigés sanctionnent.

Sujet 2 — Un dernier chiffre

Déterminer le reste de la division euclidienne de $3^{2024}$ par 7.

On calcule les premières puissances modulo 7 : $3^1 \equiv 3$, $3^2 \equiv 2$, $3^3 \equiv 6$, $3^4 \equiv 4$, $3^5 \equiv 5$, $3^6 \equiv 1 \pmod 7$.

Le cycle est de longueur 6 — ce que le petit théorème de Fermat annonçait, 7 étant premier et 3 non divisible par 7. Comme $2024 = 6 \times 337 + 2$ :

Le reste est 2.

La méthode est toujours la même : trouver le rang où la puissance revient à 1, puis réduire l'exposant modulo ce rang. Aucun grand calcul n'est nécessaire, et c'est tout l'intérêt des congruences.

Sujet 3 — Un arbre et un retournement

Une usine a deux machines. $A$ produit 60 % des pièces avec 3 % de défauts, $B$ produit 40 % des pièces avec 5 % de défauts.

1. Quelle est la probabilité qu'une pièce prise au hasard soit défectueuse ?
2. Une pièce est défectueuse. Quelle est la probabilité qu'elle vienne de $A$ ?

Question 1. Probabilités totales, sur la partition $\{A;B\}$ :

Question 2. Bayes :

Environ 47 %. Le résultat mérite un commentaire : $A$ est la machine la plus fiable, et pourtant elle fournit presque la moitié des pièces défectueuses — parce qu'elle produit beaucoup plus. Un taux de défaut faible sur un gros volume peut peser autant qu'un taux élevé sur un petit. C'est la même mécanique que le test de dépistage, dans un habillage industriel.

Sujet 4 — Un ajustement

On relève la production $y$ (en milliers d'unités) d'une usine sur six années $x$. Le coefficient de corrélation calculé vaut $r = 0{,}98$ et la droite d'ajustement est $y = 1{,}9x + 0{,}4$.

1. Que peut-on dire de l'ajustement ?
2. Estimer la production pour $x = 4$, puis pour $x = 25$.

Question 1. $r$ proche de 1 : les points sont fortement alignés, un ajustement affine est pertinent sur la plage observée.

Question 2. Pour $x = 4$ : $y = 1{,}9 \times 4 + 0{,}4 = 8$ milliers d'unités. La valeur est à l'intérieur de la plage des six années : c'est une interpolation, et l'estimation est raisonnable.

Pour $x = 25$ : le calcul donne $47{,}9$, mais cette valeur n'a aucune garantie. Rien n'assure que la croissance affine se prolonge vingt ans ; une usine sature, un marché se retourne. Le modèle décrit ce qui a été observé, il ne prédit pas ce qui ne l'a pas été.

Répondre « $47{,}9$ » sans cette réserve est une réponse incomplète. Le chapitre attend qu'on distingue interpoler d'extrapoler.

QCM du bloc

Les gestes du bloc

À retenir