Une suite est une fonction dont la variable est un entier. Cette phrase n'a l'air de rien, et elle contient tout : les questions qu'on pose aux suites sont celles qu'on pose aux fonctions — sens de variation, bornes, comportement à l'infini — avec un avantage décisif, la possibilité de raisonner de proche en proche.

Deux façons de définir une suite

La différence n'est pas cosmétique : elle décide de la méthode pour tout le reste du problème.

Forme explicite. $u_n$ s'exprime directement en fonction de $n$ : $u_n = 3n^2 - 5$. On calcule $u_{100}$ sans connaître $u_{99}$. Les variations s'étudient comme celles d'une fonction.

Forme récurrente. $u_{n+1}$ s'exprime en fonction de $u_n$ : $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = 0{,}5\,u_n + 3$. On ne peut pas atteindre $u_{100}$ sans passer par les 99 précédents. Toute propriété valable pour tout $n$ se démontre alors par récurrence — il n'y a pas d'alternative.

Le raisonnement par récurrence

C'est l'outil central du chapitre, et il vient d'être installé au bloc I. On le rappelle ici dans son usage propre aux suites : établir qu'une propriété — une majoration, une monotonie, une formule explicite — vaut à tous les rangs.

Sur une suite récurrente, l'hérédité consiste presque toujours à partir de l'hypothèse et appliquer la relation de récurrence. Si l'on suppose $u_k \leqslant 3$ et que $u_{n+1} = f(u_n)$ avec $f$ croissante, alors $u_{k+1} = f(u_k) \leqslant f(3)$, et il reste à vérifier que $f(3) \leqslant 3$. La croissance de $f$ est ce qui autorise le passage à l'inégalité : sans elle, le raisonnement tombe.

Sens de variation

Trois méthodes, à choisir selon la forme de la suite.

Le signe de $u_{n+1} - u_n$. La méthode par défaut. Si la différence est positive pour tout $n$, la suite croît.

Le quotient $u_{n+1}/u_n$, comparé à 1. Réservé aux suites strictement positives — sans cette hypothèse, comparer un quotient à 1 n'a aucun sens, et c'est une faute fréquente.

L'étude d'une fonction. Si $u_n = f(n)$ sous forme explicite, le sens de variation de $f$ sur $[0;+\infty[$ donne celui de la suite. Attention : la réciproque est fausse, une suite peut croître sans que $f$ soit monotone entre les entiers.

Une suite peut aussi n'être ni croissante ni décroissante : $u_n = (-1)^n$ n'a pas de sens de variation, et le dire est une réponse valable.

Suites arithmétiques et géométriques

Ce sont les deux modèles à reconnaître d'un coup d'œil, car tout y est calculable.

La somme arithmétique se retient par sa forme : nombre de termes multiplié par la moyenne des extrêmes. La somme géométrique, elle, se retient par « premier terme $\times$ $(1 - \text{raison}^{\text{nombre de termes}}) / (1 - \text{raison})$ ».

Le comportement à l'infini de $q^n$ décide de tout le reste :

Suites majorées, minorées, bornées

$(u_n)$ est majorée s'il existe un réel $M$ tel que $u_n \leqslant M$ pour tout $n$. Minorée de même, avec une inégalité inversée. Bornée signifie les deux.

Le mot important est existe : on n'a pas à trouver le plus petit majorant, seulement à en exhiber un. Dans une copie, produire un majorant et le justifier suffit.

Convergence

$(u_n)$ converge vers $\ell$ si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. Une suite qui ne converge pas diverge — soit vers $\pm\infty$, soit sans limite du tout, comme $(-1)^n$.

Deux théorèmes portent l'essentiel des exercices.

Convergence monotone. Toute suite croissante et majorée converge. Toute suite décroissante et minorée converge.

C'est le théorème le plus utile du chapitre, et le plus mal cité. Il affirme l'existence d'une limite, il ne la donne pas. Une suite croissante majorée par 10 peut très bien converger vers 6. Écrire « donc elle converge vers 10 » est faux.

Théorème des gendarmes. Si $v_n \leqslant u_n \leqslant w_n$ à partir d'un certain rang et si $(v_n)$ et $(w_n)$ convergent vers la même limite $\ell$, alors $(u_n)$ converge vers $\ell$. La condition « même limite » n'est pas négociable.

Un corollaire s'emploie constamment : si $|u_n - \ell| \leqslant v_n$ avec $v_n \to 0$, alors $u_n \to \ell$. C'est la forme sous laquelle on conclut la plupart des exercices de convergence.

Suites récurrentes : la méthode complète

Pour $u_{n+1} = f(u_n)$, l'exercice suit presque toujours le même déroulé.

1. Conjecturer en calculant quelques termes : la suite semble croissante, majorée par 6.
2. Démontrer la majoration par récurrence.
3. Démontrer la monotonie, par récurrence ou par le signe de $u_{n+1} - u_n$.
4. Conclure à l'existence de la limite par convergence monotone.
5. Calculer cette limite : elle vérifie $\ell = f(\ell)$, l'équation du point fixe.

L'étape 5 mérite une précaution : $\ell = f(\ell)$ ne vaut que si $f$ est continue en $\ell$, ce qui est le cas de toutes les fonctions du programme mais doit être mentionné. Et l'équation peut avoir plusieurs solutions : on tranche avec les bornes obtenues à l'étape 2.

Une variante fréquente évite tout cela : montrer que $v_n = u_n - \ell$ est géométrique. On obtient alors la forme explicite, donc la limite, sans invoquer aucun théorème d'existence.

À vous

// Une suite définie par récurrence ne se devine pas : on la calcule.
// u(0) = 1 et u(n+1) = 0.5 * u(n) + 3.

function termes(n) {
  const u = [1];
  for (let k = 0; k < n; k++) {
    u.push(0); // à corriger : appliquer la relation de récurrence
  }
  return u;
}

const suite = termes(12);
console.log(suite.map((x) => x.toFixed(4)).join(" "));

// 1. La suite semble-t-elle croissante ? majorée ?
// 2. Le point fixe L vérifie L = 0.5*L + 3. Que vaut-il ?
const pointFixe = 0; // à corriger
console.log("point fixe :", pointFixe);

// 3. La différence u(n) - L doit être géométrique de raison 0.5.
console.log(suite.map((x) => (x - pointFixe).toExponential(2)).join(" "));

function termes(n) {
  const u = [1];
  for (let k = 0; k < n; k++) {
    u.push(0.5 * u[k] + 3);
  }
  return u;
}

const suite = termes(12);
console.log(suite.map((x) => x.toFixed(4)).join(" "));

// L = 0.5L + 3  ⇔  0.5L = 3  ⇔  L = 6.
const pointFixe = 6;
console.log("point fixe :", pointFixe);

// v(n) = u(n) − 6 est géométrique de raison 0.5 : chaque terme est la moitié
// du précédent, et tend donc vers 0. C'est la démonstration de la convergence
// vers 6, écrite en trois lignes plutôt qu'observée sur un tableau.
console.log(suite.map((x) => (x - pointFixe).toExponential(2)).join(" "));

À retenir

Étudier une fonction, c'est répondre à deux questions : que fait-elle loin, et que fait-elle près d'un point interdit. Les limites sont l'outil des deux. Elles ne décrivent pas une valeur atteinte mais une tendance, et cette nuance est le cœur du chapitre.

Limite en l'infini

$f$ a pour limite $\ell$ en $+\infty$ si $f(x)$ devient et reste aussi proche de $\ell$ qu'on veut, pourvu que $x$ soit assez grand. Graphiquement, la courbe se colle à la droite horizontale d'équation $y = \ell$ : c'est une asymptote horizontale.

$f$ a pour limite $+\infty$ en $+\infty$ si $f(x)$ dépasse tout seuil fixé à l'avance, pourvu que $x$ soit assez grand.

Une fonction peut aussi n'avoir aucune limite en $+\infty$ : $\cos x$ oscille indéfiniment entre $-1$ et $1$ sans se stabiliser ni s'échapper. « Pas de limite » est une conclusion recevable, et parfois la bonne.

Limite en un point

Le cas intéressant est celui d'un point où la fonction n'est pas définie. Si $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$, la droite $x = a$ est asymptote verticale.

Une précaution s'impose alors : la limite peut différer selon le côté. Pour $f(x) = 1/(x-2)$, on a $\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty$ et $\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty$. Écrire une limite unique en 2 serait faux — l'étude des deux côtés n'est pas un raffinement, c'est le travail.

Opérations et formes indéterminées

Les limites d'une somme, d'un produit, d'un quotient se calculent comme on l'espère — sauf dans quatre situations où le résultat dépend des fonctions en présence et ne peut pas se lire sur les seules limites :

« Forme indéterminée » ne veut pas dire « pas de limite » : cela veut dire le calcul direct ne conclut pas, il faut transformer l'écriture. Trois techniques suffisent au programme.

Factoriser par le terme dominant. Pour une fraction rationnelle en $\pm\infty$, on met en facteur la plus haute puissance au numérateur et au dénominateur. Tout ce qui reste tend vers 0, et la limite se lit sur le rapport des termes dominants.

Multiplier par la quantité conjuguée. Devant une différence de racines, $\sqrt{A} - \sqrt{B}$, on multiplie et divise par $\sqrt{A} + \sqrt{B}$ : la différence de carrés fait disparaître l'indétermination.

Reconnaître un taux d'accroissement. Une forme $0/0$ du type $\left(f(x) - f(a)\right)/(x - a)$ a pour limite $f'(a)$. C'est le pont entre ce chapitre et le suivant.

Limites par comparaison

Quand le calcul résiste, on encadre.

Théorème des gendarmes. Si $g(x) \leqslant f(x) \leqslant h(x)$ au voisinage de $a$ et si $g$ et $h$ ont la même limite $\ell$ en $a$, alors $f$ tend vers $\ell$.

Comparaison à l'infini. Si $f(x) \geqslant g(x)$ et $g(x) \to +\infty$, alors $f(x) \to +\infty$. Une minoration suffit pour pousser vers l'infini ; inutile d'encadrer des deux côtés.

Ces théorèmes servent surtout devant une fonction bornée multipliée par quelque chose qui tend vers 0 : $\left|x\cos(1/x)\right| \leqslant |x| \to 0$, donc la limite est 0, alors que le produit est de la forme $0 \times$ « pas de limite ».

Asymptotes obliques

Si $f(x) - (ax + b) \to 0$ en $+\infty$, la droite $y = ax + b$ est asymptote oblique. La méthode d'un exercice est imposée : on donne souvent $f$ sous une forme où le reste apparaît, et il suffit de montrer que ce reste tend vers 0.

La position de la courbe par rapport à l'asymptote se lit sur le signe de $f(x) - (ax+b)$ : positif, la courbe est au-dessus. C'est une question systématique, et elle ne demande aucun calcul de limite.

Continuité

$f$ est continue en $a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. Trois conditions y sont cachées : $f$ est définie en $a$, la limite existe, et les deux coïncident.

Toutes les fonctions usuelles — polynômes, rationnelles, racines, sinus, cosinus, exponentielle, logarithme — sont continues sur tout intervalle de leur ensemble de définition. En pratique on ne le redémontre jamais, on le cite.

Une fonction non définie en $a$ mais dont la limite existe se prolonge par continuité : on pose $f(a) = \ell$, et la nouvelle fonction est continue. C'est ce qui se passe pour $\sin(x)/x$ en 0, prolongée par la valeur 1.

Le théorème des valeurs intermédiaires

Si $f$ est continue sur $[a;b]$, alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x) = k$ admet au moins une solution dans $[a;b]$.

Si de plus $f$ est strictement monotone, cette solution est unique. C'est la version employée en exercice, sous le nom de théorème de la bijection.

Deux remarques décident des points en copie. D'abord, la continuité est indispensable : la fonction partie entière saute de 0 à 1 sans jamais valoir $0{,}5$. Ensuite, le théorème est un théorème d'existence — il ne fournit aucune valeur. Pour approcher la solution, on encadre par dichotomie, exactement comme dans la recherche du même nom.

À vous

// Le théorème des valeurs intermédiaires garantit qu'une racine EXISTE.
// Il ne la donne pas. La dichotomie, elle, l'encadre autant qu'on veut.

const f = (x) => x ** 3 + x - 1;

// 1. Vérifier les hypothèses sur [0 ; 1] : f continue, et f(0), f(1) de signes contraires.
console.log("f(0) =", f(0), " f(1) =", f(1));

// 2. Encadrer la racine par dichotomie.
function racine(a, b, tours) {
  for (let k = 0; k < tours; k++) {
    const m = (a + b) / 2;
    // à compléter : garder la moitié où le changement de signe subsiste
  }
  return [a, b];
}

const [a, b] = racine(0, 1, 30);
console.log("racine dans [", a.toFixed(9), ";", b.toFixed(9), "]");
console.log("largeur :", (b - a).toExponential(2));

const f = (x) => x ** 3 + x - 1;

console.log("f(0) =", f(0), " f(1) =", f(1)); // −1 et 1 : signes contraires

function racine(a, b, tours) {
  for (let k = 0; k < tours; k++) {
    const m = (a + b) / 2;
    // Le changement de signe est du côté où le produit est négatif.
    if (f(a) * f(m) <= 0) b = m;
    else a = m;
  }
  return [a, b];
}

const [a, b] = racine(0, 1, 30);
console.log("racine dans [", a.toFixed(9), ";", b.toFixed(9), "]");

// Chaque tour divise l'encadrement par deux : 30 tours donnent 2^-30, soit
// neuf décimales. Le TVI a fourni l'existence, la dichotomie la précision.
console.log("largeur :", (b - a).toExponential(2));

Les réflexes du chapitre

À retenir

La dérivation répond à une question locale — quelle est la pente de la courbe en ce point — et donne en retour une information globale : le sens de variation sur tout un intervalle. Ce passage du local au global est ce qui fait de la dérivée l'outil le plus employé de l'analyse.

Nombre dérivé et tangente

$f$ est dérivable en $a$ si le taux d'accroissement admet une limite finie :

Les deux écritures sont la même. La seconde est celle qu'on reconnaît dans un calcul de limite de forme $0/0$ : dès qu'un quotient a cette allure, il y a un nombre dérivé caché.

Géométriquement, $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente en $a$, dont l'équation est

Cette formule se reconstruit plutôt qu'elle ne se retient : une droite de pente $f'(a)$ passant par le point $\left(a, f(a)\right)$.

Une fonction peut être continue sans être dérivable : $|x|$ en 0 a deux demi-tangentes de pentes $-1$ et $1$. Dérivable implique continue ; la réciproque est fausse.

Les dérivées à connaître

La racine mérite une attention : $\sqrt{x}$ est définie en 0 mais n'y est pas dérivable, la tangente y étant verticale. L'intervalle de dérivabilité est donc plus petit que l'ensemble de définition, ce que l'énoncé attend qu'on précise.

Opérations

Le quotient est la source d'erreur principale, pour une seule raison : l'ordre des termes au numérateur. $u'v - uv'$, pas l'inverse. Un moyen de contrôle : dériver $x/1$ doit redonner 1.

La composée porte le reste du chapitre :

soit, dans les cas du programme :

Toutes ont la même structure : la dérivée de l'intérieur multiplie la dérivée de l'extérieur. Oublier le facteur $u'$ est l'erreur la plus fréquente de toute l'analyse.

Dérivée et variations

C'est le théorème qui justifie tout le chapitre. Sur un intervalle $I$ :

• $f' > 0$ sur $I$ $\Rightarrow$ $f$ strictement croissante sur $I$ ;
• $f' < 0$ sur $I$ $\Rightarrow$ $f$ strictement décroissante sur $I$ ;
• $f' = 0$ sur $I$ $\Rightarrow$ $f$ constante sur $I$.

Le mot intervalle n'est pas décoratif. La fonction $1/x$ a une dérivée strictement négative sur son ensemble de définition, et pourtant elle n'est pas décroissante sur $\mathbb{R}^*$ : elle l'est sur $]-\infty;0[$ et sur $]0;+\infty[$ séparément. Un tableau de variations se construit intervalle par intervalle.

Extremums. Si $f'$ s'annule en changeant de signe en $a$, alors $f$ admet un extremum local en $a$. Le changement de signe est la condition qui compte : $x^3$ a une dérivée nulle en 0 sans y présenter d'extremum, car $3x^2$ reste positive de part et d'autre.

Convexité

La dérivée seconde décrit la façon dont la pente évolue.

$f$ est convexe sur $I$ si $f'' \geqslant 0$ : la pente augmente, la courbe tourne vers le haut, et elle est au-dessus de chacune de ses tangentes. Concave si $f'' \leqslant 0$, avec toutes les propriétés inversées.

Un point d'inflexion est un point où $f''$ s'annule en changeant de signe : la courbe y traverse sa tangente. Même précaution que pour les extremums, et pour la même raison.

La convexité fournit des inégalités qu'on ne saurait pas établir autrement. La fonction exponentielle étant convexe, sa courbe est au-dessus de sa tangente en 0, d'où $e^x \geqslant x + 1$ pour tout réel $x$ — une inégalité qui resservira constamment.

L'étude complète d'une fonction

L'exercice type suit un ordre fixe, et le respecter fait gagner du temps.

1. Ensemble de définition, et réduction éventuelle par parité ou périodicité.
2. Limites aux bornes, et asymptotes qui en découlent.
3. Dérivée, avec l'ensemble de dérivabilité si différent.
4. Signe de $f'$, souvent le vrai travail : factoriser, étudier un trinôme.
5. Tableau de variations, limites reportées aux bornes.
6. Points remarquables : tangentes horizontales, intersections avec les axes.
7. Tracé.

L'étape 4 est celle où se joue l'exercice. Une dérivée mal factorisée rend le signe illisible et fait échouer tout ce qui suit, même correctement mené.

À vous

// Le nombre dérivé est la limite d'un taux d'accroissement.
// On le vérifie numériquement, puis on constate la limite du procédé.

const f = (x) => x ** 3 - 2 * x;
const fPrimeExacte = (x) => 0; // à corriger : dérivée de x³ − 2x

// Taux d'accroissement entre a et a+h.
function taux(a, h) {
  return 0; // à corriger
}

const a = 1.5;
console.log("dérivée exacte :", fPrimeExacte(a));
for (const h of [1e-1, 1e-3, 1e-6, 1e-10, 1e-14]) {
  console.log("h =", h.toExponential(), " taux =", taux(a, h));
}
// Observez la dernière ligne : pourquoi le résultat se dégrade-t-il ?

const f = (x) => x ** 3 - 2 * x;
const fPrimeExacte = (x) => 3 * x ** 2 - 2;

function taux(a, h) {
  return (f(a + h) - f(a)) / h;
}

const a = 1.5;
console.log("dérivée exacte :", fPrimeExacte(a)); // 4.75
for (const h of [1e-1, 1e-3, 1e-6, 1e-10, 1e-14]) {
  console.log("h =", h.toExponential(), " taux =", taux(a, h));
}

// Le taux se rapproche de 4,75 puis S'EN ÉLOIGNE. En dessous de 1e-8, f(a+h)
// et f(a) sont si proches que leur différence perd ses chiffres significatifs,
// et la division par un h minuscule amplifie l'erreur.
//
// La limite mathématique est exacte ; son calcul numérique ne l'est pas.
// C'est pourquoi on dérive formellement, jamais par différences finies.

À retenir

Le logarithme népérien est né d'un besoin de calcul : transformer les produits en sommes. Cette propriété unique — $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ — est à la fois sa définition opératoire, sa raison d'être historique, et la source de tous les exercices du chapitre.

Définition

La fonction $x \mapsto 1/x$ est continue sur $]0;+\infty[$ : elle y admet des primitives. On appelle logarithme népérien l'unique primitive qui s'annule en 1.

Deux conséquences immédiates, à ne jamais perdre de vue. Le logarithme n'est défini que pour $x > 0$ : écrire $\ln$ d'une quantité négative ou nulle est une faute, pas une approximation. Et sa dérivée $1/x$ est strictement positive, donc $\ln$ est strictement croissante sur son domaine.

Propriétés algébriques

Toutes découlent de la première, elle-même conséquence de la dérivée. Toutes exigent $a > 0$ et $b > 0$.

L'usage est mécanique : le logarithme abaisse les exposants. Une équation où l'inconnue est en exposant se résout en composant par $\ln$, et c'est la seule technique disponible.

d'où $n \geqslant 10$ — le résultat rencontré à la leçon de complexité, cette fois démontré.

Limites et croissance

La première donne une asymptote verticale d'équation $x = 0$. La seconde est à nuancer : $\ln$ tend vers l'infini, mais très lentement. Il faut $x \approx 22\,000$ pour que $\ln x$ atteigne 10.

Cette lenteur est formalisée par les croissances comparées :

Elles se lisent d'une seule phrase : face à une puissance, le logarithme perd toujours. En $+\infty$ le quotient tend vers 0 parce que le dénominateur l'emporte ; en $0^+$ le produit tend vers 0 parce que $x$ écrase le $-\infty$ du logarithme.

Ces trois limites lèvent des indéterminations $\infty/\infty$ et $0 \times \infty$ que rien d'autre ne lève. Les citer nommément est attendu en copie.

Une dernière limite, moins spectaculaire mais aussi utile :

C'est le nombre dérivé de $\ln(1+x)$ en 0 — un taux d'accroissement déguisé, comme souvent.

Dérivées composées

sur tout intervalle où $u > 0$. Cette formule sert dans les deux sens, et c'est le second qui compte le plus : reconnaître une forme $u'/u$ donne une primitive en $\ln$. Le chapitre sur les intégrales en dépend entièrement.

Résoudre équations et inéquations

La méthode tient en trois temps, et l'ordre n'est pas négociable.

1. Écrire le domaine, en imposant que chaque expression sous un $\ln$ soit strictement positive. Cette étape se fait avant tout calcul.
2. Résoudre, en utilisant la stricte croissance : $\ln A = \ln B \iff A = B$, et $\ln A < \ln B \iff A < B$, l'inégalité conservant son sens.
3. Confronter au domaine, et écarter les solutions qui n'y appartiennent pas.

L'étape 3 n'est pas une formalité de rédaction. Passer à l'exponentielle élargit le domaine : le trinôme obtenu a des racines dont certaines ne sont pas solutions de l'équation initiale. Les garder est une faute de fond.

Logarithme décimal

$\log x = \ln x / \ln 10$. Il vérifie les mêmes propriétés et $\log 10^n = n$, ce qui en fait l'outil des ordres de grandeur — pH, décibels, échelles sismiques. Au programme, il n'apporte rien de nouveau : tout ce qui vaut pour $\ln$ vaut pour lui.

À vous

// Résoudre ln(x) + ln(x − 3) = ln(4).
// Le piège n'est pas le calcul : c'est le domaine.

// 1. Le domaine impose x > 0 ET x − 3 > 0.
const domaine = (x) => false; // à corriger

// 2. L'équation se ramène à x(x − 3) = 4, soit x² − 3x − 4 = 0.
function racines() {
  const [a, b, c] = [1, -3, -4];
  const d = b * b - 4 * a * c;
  return [(-b - Math.sqrt(d)) / (2 * a), (-b + Math.sqrt(d)) / (2 * a)];
}

const candidates = racines();
console.log("candidates :", candidates);
console.log("solutions  :", candidates.filter(domaine));

// 3. Vérification directe sur les solutions retenues.
for (const x of candidates.filter(domaine)) {
  console.log(x, "→", Math.log(x) + Math.log(x - 3), "vs", Math.log(4));
}

// Le domaine se lit AVANT de résoudre : les deux logarithmes doivent exister.
const domaine = (x) => x > 0 && x - 3 > 0;

function racines() {
  const [a, b, c] = [1, -3, -4];
  const d = b * b - 4 * a * c;
  return [(-b - Math.sqrt(d)) / (2 * a), (-b + Math.sqrt(d)) / (2 * a)];
}

const candidates = racines();
console.log("candidates :", candidates); // [-1, 4]
console.log("solutions  :", candidates.filter(domaine)); // [4]

// −1 est racine du trinôme et n'est PAS solution de l'équation : ln(−1)
// n'existe pas. Passer à l'exponentielle élargit le domaine, il faut donc
// systématiquement revenir le vérifier.
for (const x of candidates.filter(domaine)) {
  console.log(x, "→", Math.log(x) + Math.log(x - 3), "vs", Math.log(4));
}

À retenir

L'exponentielle est la fonction qui est sa propre dérivée. Cette phrase la définit entièrement, et explique pourquoi elle apparaît partout où une grandeur varie proportionnellement à elle-même : intérêts composés, désintégration radioactive, refroidissement, croissance de population.

Définition

$\ln$ est continue et strictement croissante de $]0;+\infty[$ sur $\mathbb{R}$ : c'est donc une bijection. Sa réciproque est la fonction exponentielle.

De cette construction découle tout le reste, sans rien à mémoriser de neuf :

Trois faits en découlent, à traiter comme des réflexes. L'exponentielle est définie sur $\mathbb{R}$ tout entier — contrairement au logarithme. Elle est strictement positive : $e^x > 0$ pour tout $x$, ce qui permet de diviser par $e^x$ sans précaution et de conclure sur le signe d'un produit. Et $e^0 = 1$.

Propriétés algébriques

Ce sont les propriétés du logarithme lues à l'envers : l'exponentielle transforme les sommes en produits. Elles valent pour tous réels, sans condition de domaine — la différence pratique avec $\ln$ est là, et elle allège considérablement les calculs.

Dérivée et variations

Comme $e^x > 0$, la dérivée est strictement positive : $\exp$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Et le signe de $\left(e^u\right)'$ est celui de $u'$ seul, puisque $e^u$ ne change jamais de signe — remarque qui simplifie la moitié des études de fonctions du programme.

Limites

La première donne une asymptote horizontale d'équation $y = 0$ en $-\infty$. La courbe s'en approche sans jamais l'atteindre, ce que traduit la stricte positivité.

Les croissances comparées sont le pendant exact de celles du logarithme :

Une phrase les résume : l'exponentielle l'emporte sur toute puissance. En $+\infty$ elle écrase le dénominateur ; en $-\infty$ elle écrase le facteur polynomial, aussi grand que soit son degré. La troisième limite est le nombre dérivé de $e^x$ en 0.

Équations et inéquations

La stricte croissance donne les équivalences de résolution :

et le passage d'une forme à l'autre :

La condition $k > 0$ est celle qui décide. $e^A = -2$ n'a aucune solution, et le constater est la réponse complète : inutile de calculer. Une équation exponentielle sans solution est un cas d'énoncé courant.

Les équations qui se ramènent à un trinôme forment l'autre cas type. Devant $e^{2x} - 3e^x + 2 = 0$, on pose $X = e^x$ : le trinôme $X^2 - 3X + 2$ a pour racines 1 et 2, d'où $x = 0$ ou $x = \ln 2$. Le changement de variable impose $X > 0$ — une racine négative se rejette sans discussion.

Fonctions puissances

Pour $a > 0$, on pose $a^x = e^{x \ln a}$. Cette définition étend les puissances à tout exposant réel, et son sens de variation ne dépend que du signe de $\ln a$ : croissante si $a > 1$, décroissante si $0 < a < 1$, constante si $a = 1$.

C'est la formule qui rend calculable $2^{\sqrt{2}}$, et celle qui relie la fonction exponentielle aux suites géométriques : $q^n = e^{n \ln q}$ éclaire d'un coup pourquoi $q^n$ tend vers 0 quand $q < 1$ — l'exposant $n \ln q$ tend alors vers $-\infty$.

Ce qu'une limite ne dit pas

// « L'exponentielle l'emporte sur toute puissance » : à quel prix ?
// On cherche à partir de quel x on a e^x > x^10.

const f = (x) => Math.exp(x);
const g = (x) => x ** 10;

// 1. Comparer sur quelques valeurs. Qui domine au début ?
for (const x of [2, 5, 10, 20, 35, 50]) {
  console.log("x =", x, " e^x =", f(x).toExponential(2), " x^10 =", g(x).toExponential(2));
}

// 2. Trouver le seuil : le plus petit entier x tel que e^x dépasse x^10.
function seuil() {
  let x = 1;
  // à compléter : avancer tant que e^x reste inférieur ou égal à x^10
  return x;
}

console.log("seuil :", seuil());

const f = (x) => Math.exp(x);
const g = (x) => x ** 10;

for (const x of [2, 5, 10, 20, 35, 50]) {
  console.log("x =", x, " e^x =", f(x).toExponential(2), " x^10 =", g(x).toExponential(2));
}

function seuil() {
  let x = 1;
  while (f(x) <= g(x)) x++;
  return x;
}

console.log("seuil :", seuil()); // 36

// Jusqu'à x = 35, la puissance écrase l'exponentielle — de plusieurs ordres
// de grandeur. Le théorème n'en est pas faux pour autant : il porte sur le
// comportement À L'INFINI, pas sur les petites valeurs. Une limite ne dit
// jamais à partir de quand.

À retenir

Dériver, c'est descendre ; intégrer, c'est remonter. Le chapitre repose entièrement sur ce renversement, et sur le théorème qui le rend calculable : une aire sous une courbe se détermine sans découper la moindre bande, pourvu qu'on sache reconnaître une primitive.

Primitives

$F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ si $F' = f$ sur $I$.

Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante — c'est immédiat, leur différence a une dérivée nulle sur un intervalle. Il n'y a donc jamais « la » primitive, mais une famille $F + C$, et une condition initiale la détermine.

Les formes composées sont celles qu'on doit reconnaître, car c'est ainsi qu'un énoncé les présente :

L'exercice consiste presque toujours à faire apparaître le facteur $u'$ manquant, quitte à multiplier et diviser par une constante. Devant $x\,e^{x^2}$, on écrit $\tfrac{1}{2} \times 2x\,e^{x^2}$ et la primitive est $\tfrac{1}{2}e^{x^2}$.

La valeur absolue dans $\ln\lvert u \rvert$ n'est pas un ornement : sans elle, la primitive de $1/x$ serait fausse sur $]-\infty;0[$.

L'intégrale

Pour $f$ continue sur $[a;b]$ et $F$ une primitive de $f$ :

Le résultat ne dépend pas de la primitive choisie, la constante s'éliminant dans la soustraction. C'est le théorème fondamental : le calcul d'aire se ramène à deux évaluations.

Quand $f \geqslant 0$ sur $[a;b]$, l'intégrale est l'aire du domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites $x = a$ et $x = b$, en unités d'aire. Si $f$ change de signe, l'intégrale compte négativement les parties sous l'axe : une intégrale nulle ne signifie pas une aire nulle.

Cette animation, empruntée au cours d'algorithmique, montre des vitesses de croissance comparées. On la relit ici autrement : sous chacune de ces courbes, l'aire accumulée depuis 0 est précisément l'intégrale de la fonction, et c'est elle que la primitive calcule d'un trait.

Propriétés

La deuxième est la relation de Chasles : elle sert à découper aux points où $f$ change de signe, ou aux points de raccord d'une fonction définie par morceaux.

Positivité et croissance. Si $f \geqslant 0$ sur $[a;b]$ avec $a \leqslant b$, alors $\int_a^b f \geqslant 0$. Et si $f \leqslant g$, alors $\int_a^b f \leqslant \int_a^b g$. L'inégalité se conserve — à condition que les bornes soient dans l'ordre, faute de quoi elle s'inverse.

Cette croissance est ce qui permet d'encadrer une intégrale qu'on ne sait pas calculer : on encadre la fonction, on intègre, et l'encadrement suit.

Valeur moyenne de $f$ sur $[a;b]$ :

C'est la hauteur du rectangle de base $[a;b]$ ayant la même aire que le domaine sous la courbe.

Intégration par parties

Elle transforme une intégrale en une autre. Le choix de $u'$ et de $v$ décide de tout : $v$ doit devenir plus simple en dérivant. Un polynôme perd un degré, un logarithme devient une fraction rationnelle — ce sont les deux cas du programme.

Pour $\int x e^x\,\mathrm{d}x$ : on pose $v = x$ et $u' = e^x$. La nouvelle intégrale $\int e^x$ est immédiate. Le choix inverse aurait donné $\int \tfrac{x^2}{2}e^x$, pire que l'originale — le signe qu'on s'est trompé de répartition.

Aires et volumes

Aire entre deux courbes. Si $f \geqslant g$ sur $[a;b]$, l'aire du domaine compris entre les deux courbes vaut $\int_a^b (f - g)$. On détermine d'abord les abscisses d'intersection, puis le signe de $f - g$ sur chaque morceau.

Volume de révolution. Le solide engendré par la rotation de la courbe de $f$ autour de l'axe des abscisses a pour volume

Le carré vient de l'aire du disque de rayon $f(x)$ ; l'intégrale empile ces disques. Oublier le $\pi$ ou le carré donne un résultat homogène à autre chose qu'un volume, ce qui se détecte sans calcul.

Ce que la somme de Riemann apprend

// L'intégrale est une limite d'aires de rectangles. On le vérifie.
// ∫ de 0 à 1 de x² vaut exactement 1/3.

const f = (x) => x * x;

// Somme des aires de n rectangles de largeur 1/n, hauteur prise à droite.
function rectangles(n) {
  let somme = 0;
  for (let k = 1; k <= n; k++) {
    // à compléter : ajouter l'aire du k-ième rectangle
  }
  return somme;
}

for (const n of [4, 10, 100, 10000, 1000000]) {
  console.log("n =", n, " somme =", rectangles(n).toFixed(8));
}
console.log("valeur exacte :", (1 / 3).toFixed(8));

const f = (x) => x * x;

function rectangles(n) {
  let somme = 0;
  for (let k = 1; k <= n; k++) {
    // Largeur 1/n, hauteur f(k/n).
    somme += (1 / n) * f(k / n);
  }
  return somme;
}

for (const n of [4, 10, 100, 10000, 1000000]) {
  console.log("n =", n, " somme =", rectangles(n).toFixed(8));
}
console.log("valeur exacte :", (1 / 3).toFixed(8));

// La convergence est LENTE : il faut un million de rectangles pour six
// décimales. C'est pourquoi on ne calcule jamais une intégrale ainsi — on
// cherche une primitive. La somme de Riemann définit l'intégrale, elle ne
// la calcule pas.

À retenir

Une équation différentielle relie une fonction inconnue à ses dérivées. Elle ne décrit pas une grandeur, elle décrit la loi qui la fait varier — et c'est sous cette forme que la physique énonce presque tout : la vitesse de désintégration est proportionnelle à la quantité restante, l'accélération d'un ressort est opposée à son allongement.

Résoudre, c'est retrouver la grandeur à partir de sa loi de variation.

$y' = ay$

L'équation fondamentale. Ses solutions sur $\mathbb{R}$ sont exactement les fonctions

La vérification est immédiate. La réciproque — qu'il n'y en a pas d'autres — se démontre en posant $z(x) = y(x)e^{-ax}$ et en constatant que $z' = 0$, donc $z$ constante sur $\mathbb{R}$. Cette démonstration est courte et tombe régulièrement.

L'ensemble des solutions est une famille : une équation différentielle du premier ordre a une infinité de solutions, paramétrées par une constante. Pour en isoler une, il faut une condition initiale.

Le signe de $a$ décide du comportement : croissance explosive si $a > 0$, décroissance vers 0 si $a < 0$. C'est la même dichotomie que pour $q^n$ chez les suites géométriques, et pour la même raison — $e^{ax}$ est une suite géométrique à variable continue.

$y' = ay + b$

On se ramène au cas précédent en cherchant la solution constante, dite particulière. Si $y$ est constante, $y' = 0$, donc $ay + b = 0$, donc $y = -b/a$ — sous réserve que $a \neq 0$.

Les solutions générales sont alors

La structure mérite d'être vue pour elle-même : solution générale de l'équation sans second membre, plus une solution particulière. C'est le schéma de toute la théorie des équations linéaires, et il resservira bien au-delà du programme.

Quand $a < 0$, le terme $Ce^{ax}$ s'efface et $y$ tend vers $-b/a$ : c'est le régime permanent, la valeur d'équilibre. Le terme exponentiel est le régime transitoire, celui qui garde la mémoire de la condition initiale et finit par l'oublier.

$y'' + \omega^2 y = 0$

L'équation de l'oscillateur. Ses solutions sont

Deux constantes cette fois : une équation du second ordre exige deux conditions — typiquement $y(0)$ et $y'(0)$, la position et la vitesse initiales.

La forme équivalente $y(x) = R\cos(\omega x + \varphi)$ met en évidence les grandeurs physiques : $R = \sqrt{A^2 + B^2}$ est l'amplitude, $\varphi$ la phase, et $T = 2\pi/\omega$ la période. Passer d'une écriture à l'autre est une question d'énoncé fréquente.

Le signe compte : $y'' - \omega^2 y = 0$ a pour solutions $Ae^{\omega x} + Be^{-\omega x}$, qui divergent. Un ressort oscille, une instabilité explose — la différence tient à un signe.

La méthode d'un exercice

1. Identifier la forme : $y' = ay$, $y' = ay + b$, ou $y'' + \omega^2 y = 0$.
2. Écrire la famille de solutions, avec sa ou ses constantes.
3. Appliquer les conditions initiales pour les déterminer.
4. Interpréter : limite, équilibre, période, demi-vie selon le contexte.

L'étape 4 est celle que les énoncés de sciences attendent vraiment. Une équation différentielle y arrive toujours habillée : « la vitesse de refroidissement est proportionnelle à l'écart de température » se traduit par $\theta' = -k(\theta - \theta_{\text{ambiante}})$, qui est un $y' = ay + b$ déguisé.

À vous

// N'(t) = −λ N(t) : la solution est N(t) = N0 · e^(−λt).
// On la confronte à une simulation pas à pas, puis on en tire la demi-vie.

const N0 = 1000;
const LAMBDA = 0.05; // par jour

// 1. Solution exacte.
const exacte = (t) => 0; // à corriger

// 2. Simulation d'Euler : sur un petit pas h, N diminue de λ·N·h.
function euler(t, h) {
  let n = N0;
  for (let x = 0; x < t; x += h) {
    n = n; // à corriger
  }
  return n;
}

for (const h of [1, 0.1, 0.001]) {
  console.log("h =", h, " Euler(30) =", euler(30, h).toFixed(3), " exacte =", exacte(30).toFixed(3));
}

// 3. Demi-vie : le temps au bout duquel il reste la moitié.
const demiVie = 0; // à corriger, avec un logarithme
console.log("demi-vie :", demiVie.toFixed(3), "jours");

const N0 = 1000;
const LAMBDA = 0.05;

const exacte = (t) => N0 * Math.exp(-LAMBDA * t);

function euler(t, h) {
  let n = N0;
  for (let x = 0; x < t; x += h) {
    n = n - LAMBDA * n * h;
  }
  return n;
}

for (const h of [1, 0.1, 0.001]) {
  console.log("h =", h, " Euler(30) =", euler(30, h).toFixed(3), " exacte =", exacte(30).toFixed(3));
}

// N0/2 = N0 e^(−λT)  ⇔  1/2 = e^(−λT)  ⇔  −λT = ln(1/2)  ⇔  T = ln(2)/λ.
// La demi-vie ne dépend PAS de N0 : c'est la signature d'une décroissance
// exponentielle, et ce que le modèle affirme de plus fort.
const demiVie = Math.log(2) / LAMBDA;
console.log("demi-vie :", demiVie.toFixed(3), "jours"); // 13.863

À retenir

Le bloc d'analyse fournit sept outils. Un sujet de baccalauréat n'en isole jamais un seul : il enchaîne une étude de fonction, une suite qui en découle, une intégrale qui mesure une aire. La difficulté n'est pas technique, elle est d'ordonnancement — savoir quelle question prépare la suivante.

Chaque sujet ci-dessous est donné entier, puis conduit jusqu'au bout.

Sujet 1 — Étude d'une fonction avec exponentielle

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x-1)e^{-x}$.

1. Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$, et en déduire une asymptote.
2. Étudier les variations de $f$.
3. Montrer que l'équation $f(x) = 0{,}1$ admet une unique solution sur $[1;+\infty[$.

Question 1. En $-\infty$ : $x - 1 \to -\infty$ et $e^{-x} \to +\infty$, donc le produit tend vers $-\infty$. Aucune indétermination.

En $+\infty$ : $x-1 \to +\infty$ et $e^{-x} \to 0$, forme $\infty \times 0$. On développe pour faire apparaître une croissance comparée :

Le premier terme tend vers 0 par croissance comparée, le second aussi. Donc $f(x) \to 0$, et l'axe des abscisses est asymptote horizontale en $+\infty$.

Question 2. $f$ est un produit :

Comme $e^{-x} > 0$, le signe de $f'$ est celui de $2 - x$ : $f$ croît sur $]-\infty;2]$, décroît sur $[2;+\infty[$, et admet un maximum $f(2) = e^{-2} \approx 0{,}135$.

Question 3. Sur $[1;+\infty[$, il faut d'abord découper : $f$ croît sur $[1;2]$ puis décroît sur $[2;+\infty[$. Le maximum $0{,}135$ dépasse $0{,}1$, donc la valeur est atteinte deux fois sur $[1;+\infty[$ — une fois sur chaque branche monotone.

L'énoncé annonce l'unicité : c'est qu'il attend l'étude sur l'une des deux branches seulement, ou qu'il faut le contredire. Dans les deux cas, le tableau de variations tranche, et c'est pourquoi il précède toujours ce genre de question.

Sujet 2 — Une suite récurrente

On définit $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$.

1. Démontrer que pour tout $n$, $0 \leqslant u_n \leqslant 2$.
2. Démontrer que $(u_n)$ est croissante.
3. En déduire qu'elle converge, et calculer sa limite.

Question 1. Par récurrence. Au rang 0 : $0 \leqslant 0 \leqslant 2$. Hérédité : si $0 \leqslant u_k \leqslant 2$, alors $2 \leqslant u_k + 2 \leqslant 4$, et la fonction racine étant croissante, $\sqrt{2} \leqslant u_{k+1} \leqslant 2$. En particulier $0 \leqslant u_{k+1} \leqslant 2$.

La croissance de la racine est ce qui autorise le passage à l'inégalité. Sans elle, l'implication tombe — c'est la justification qu'on omet et qu'on doit écrire.

Question 2. On étudie le signe de $u_{n+1} - u_n = \sqrt{u_n+2} - u_n$. Avec $x = u_n \in [0;2]$, le signe de $\sqrt{x+2} - x$ est celui de $x + 2 - x^2$ après passage au carré — licite car les deux quantités sont positives sur $[0;2]$. Le trinôme $-x^2 + x + 2$ a pour racines $-1$ et 2, et il est positif entre ses racines, donc sur $[0;2]$. La suite est croissante.

Question 3. Croissante et majorée par 2 : elle converge par le théorème de convergence monotone. Sa limite $\ell$ vérifie $\ell = \sqrt{\ell + 2}$, soit $\ell^2 - \ell - 2 = 0$, dont les racines sont $-1$ et 2. La limite d'une suite positive ne peut être négative : $\ell = 2$.

Le tri final entre les deux racines n'est pas facultatif. C'est l'encadrement de la question 1 qui le permet, et c'est pour cela qu'elle vient en premier.

Sujet 3 — Intégrale et aire

Soit $g(x) = x e^{-x}$ sur $[0;3]$.

1. Calculer $\int_0^3 g(x)\,\mathrm{d}x$ par une intégration par parties.
2. Interpréter graphiquement le résultat.

Question 1. On pose $v = x$ et $u' = e^{-x}$, donc $v' = 1$ et $u = -e^{-x}$. Le choix est dicté par le fait que $v = x$ se simplifie en dérivant.

soit $1 - 4e^{-3} \approx 0{,}801$.

Question 2. Sur $[0;3]$, $g$ est positive : l'intégrale est donc l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites $x=0$ et $x=3$.

La positivité doit être vérifiée, pas supposée. Sur un intervalle où $g$ changerait de signe, l'intégrale ne serait plus l'aire, et la réponse serait fausse.

Sujet 4 — Un refroidissement

Un corps à $80\,^\circ\mathrm{C}$ est placé dans une pièce à $20\,^\circ\mathrm{C}$. Sa température vérifie $\theta'(t) = -0{,}1\left(\theta(t) - 20\right)$, $t$ en minutes. Déterminer $\theta(t)$, puis le temps au bout duquel le corps atteint $30\,^\circ\mathrm{C}$.

L'équation est un $y' = ay + b$ déguisé : $\theta' = -0{,}1\,\theta + 2$. La solution constante vérifie $0 = -0{,}1\,\theta + 2$, soit $\theta = 20$ — la température de la pièce, ce qui était prévisible.

La condition $\theta(0) = 80$ donne $C = 60$. Puis $\theta(t) = 30$ équivaut à $60e^{-0,1t} = 10$, soit $e^{-0,1t} = 1/6$, d'où

Le passage au logarithme est le seul geste possible pour extraire un exposant : c'est l'usage pour lequel il a été construit.

QCM du bloc

Les gestes du bloc

À retenir