On introduit $i$ tel que $i^2 = -1$ pour une raison d'algèbre — donner des racines à tous les trinômes — et l'on découvre un outil de géométrie. C'est ce double statut qui fait la richesse du chapitre : tout calcul algébrique sur les complexes a une lecture géométrique, et réciproquement.

Forme algébrique

Tout complexe s'écrit de manière unique $z = a + ib$ avec $a$ et $b$ réels. On appelle $a = \operatorname{Re}(z)$ la partie réelle et $b = \operatorname{Im}(z)$ la partie imaginaire — qui est un réel, malgré son nom.

L'unicité est l'outil de démonstration principal : deux complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles et imaginaires le sont. Une équation complexe équivaut donc à un système de deux équations réelles.

Les opérations se font comme sur les polynômes, en remplaçant $i^2$ par $-1$ :

Le conjugué de $z = a+ib$ est $\bar{z} = a - ib$. Il vérifie $\overline{z + z'} = \bar z + \bar{z'}$, $\overline{zz'} = \bar z \, \bar{z'}$, et surtout

qui est un réel positif. C'est ce produit qui permet de diviser : pour rendre un quotient sous forme algébrique, on multiplie haut et bas par le conjugué du dénominateur.

Deux caractérisations à retenir : $z$ est réel si et seulement si $z = \bar z$ ; $z$ est imaginaire pur si et seulement si $z = -\bar z$.

Plan complexe

À $z = a + ib$ on associe le point $M(a;b)$, son image, et réciproquement $z$ est l'affixe de $M$. Le plan devient ainsi une représentation des complexes, et les opérations y prennent un sens.

Le module est une distance. C'est la traduction qui résout presque tous les exercices de lieux géométriques : $\lvert z - z_A \rvert = r$ signifie $AM = r$, donc $M$ décrit le cercle de centre $A$ et de rayon $r$. Et $\lvert z - z_A \rvert = \lvert z - z_B \rvert$ signifie $AM = BM$, donc la médiatrice de $[AB]$.

Forme trigonométrique

Pour $z \neq 0$, on peut écrire

où $r = \lvert z \rvert > 0$ et $\theta = \arg(z)$, défini modulo $2\pi$. L'argument est une mesure de l'angle entre l'axe des abscisses et $\overrightarrow{OM}$.

Zéro n'a pas d'argument : sa direction n'est pas définie. Écrire $\arg(0)$ est une faute.

Le passage d'une forme à l'autre est mécanique. De l'algébrique vers la trigonométrique : on calcule $r$, on factorise, et l'on reconnaît le cosinus et le sinus dans ce qui reste. De la trigonométrique vers l'algébrique : on développe.

Pourquoi deux formes ? Parce qu'elles ne servent pas aux mêmes opérations. L'addition est simple en algébrique, illisible en trigonométrique. La multiplication est l'inverse :

Les modules se multiplient, les arguments s'ajoutent. Choisir la forme adaptée à l'opération demandée est le premier réflexe du chapitre.

Cette règle a une lecture géométrique décisive : multiplier par $re^{i\theta}$, c'est effectuer une rotation d'angle $\theta$ suivie d'un agrandissement de rapport $r$. Toute la leçon suivante en découle.

Moivre et Euler

De la règle du produit découle, par récurrence, la formule de Moivre :

Elle rend triviale une puissance qui demanderait autrement $n$ développements. Elle sert aussi dans l'autre sens, à linéariser : développer $(\cos\theta + i\sin\theta)^3$ par le binôme et identifier les parties réelles donne $\cos 3\theta$ en fonction de $\cos\theta$.

Les formules d'Euler :

Elles transforment un produit de fonctions trigonométriques en somme d'exponentielles, donc un calcul difficile en calcul d'exposants.

Racines $n$-ièmes de l'unité

Les solutions de $z^n = 1$ sont les $n$ complexes

Leurs images forment un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle unité, l'un des sommets étant 1. Leur somme est nulle dès que $n \geqslant 2$ — le centre de gravité d'un polygone régulier est son centre.

Équations du second degré

Pour $az^2+bz+c=0$ à coefficients réels et $\Delta < 0$, les solutions sont les deux complexes conjugués

Le $-\Delta$ sous la racine est positif, donc la racine existe. C'est l'aboutissement algébrique du chapitre : tout trinôme admet des racines, et si les coefficients sont réels, elles sont conjuguées l'une de l'autre.

Interprétations à connaître

Les deux dernières lignes portent la plupart des questions de configuration : on traduit une propriété géométrique en une condition sur un quotient, puis on calcule.

À vous

// Multiplier deux complexes : les modules se multiplient, les arguments
// s'ajoutent. On le vérifie sur les deux écritures.

const mul = (a, b) => ({ re: 0, im: 0 }); // à corriger : (a+ib)(c+id)

const module = (z) => Math.hypot(z.re, z.im);
const argument = (z) => Math.atan2(z.im, z.re);
const deg = (r) => ((r * 180) / Math.PI).toFixed(2);

const z1 = { re: 1, im: 1 };          // module √2, argument 45°
const z2 = { re: 0, im: 2 };          // module 2,  argument 90°
const p = mul(z1, z2);

console.log("produit :", p);
console.log("|z1|·|z2| =", (module(z1) * module(z2)).toFixed(6), " |produit| =", module(p).toFixed(6));
console.log("arg z1 + arg z2 =", deg(argument(z1) + argument(z2)), "°  arg produit =", deg(argument(p)), "°");

// Élever au cube par la formule de Moivre plutôt que par trois produits.
const moivre = (z, n) => ({ re: 0, im: 0 }); // à corriger
console.log("z1³ par Moivre :", moivre(z1, 3));

// (a+ib)(c+id) = (ac − bd) + i(ad + bc)
const mul = (a, b) => ({ re: a.re * b.re - a.im * b.im, im: a.re * b.im + a.im * b.re });

const module = (z) => Math.hypot(z.re, z.im);
const argument = (z) => Math.atan2(z.im, z.re);
const deg = (r) => ((r * 180) / Math.PI).toFixed(2);

const z1 = { re: 1, im: 1 };
const z2 = { re: 0, im: 2 };
const p = mul(z1, z2);

console.log("produit :", p); // { re: -2, im: 2 }
console.log("|z1|·|z2| =", (module(z1) * module(z2)).toFixed(6), " |produit| =", module(p).toFixed(6));
console.log("arg z1 + arg z2 =", deg(argument(z1) + argument(z2)), "°  arg produit =", deg(argument(p)), "°");

// Moivre : (r·e^(iθ))^n = r^n · e^(inθ). Le calcul devient trivial en
// trigonométrique, là qu'il demandait deux produits en algébrique.
const moivre = (z, n) => {
  const r = module(z) ** n;
  const t = argument(z) * n;
  return { re: r * Math.cos(t), im: r * Math.sin(t) };
};
console.log("z1³ par Moivre :", moivre(z1, 3)); // ≈ { re: -2, im: 2 }

À retenir

La leçon précédente s'est achevée sur une remarque : multiplier par $re^{i\theta}$ fait tourner et agrandit. Ce chapitre en tire toutes les conséquences. Une transformation du plan devient une formule, et chercher son centre revient à résoudre une équation du premier degré — là où la géométrie classique demandait une construction.

Les transformations élémentaires

Chacune s'écrit $z' = az + b$ pour un choix particulier de $a$.

La quatrième ligne contient les trois précédentes : $a$ réel positif donne l'homothétie, $\lvert a \rvert = 1$ donne la rotation. Il n'y a donc qu'une famille à connaître.

Similitude directe

Toute application $z \mapsto az + b$ avec $a \neq 0$ est une similitude directe. Deux cas, et la distinction est la première chose à faire.

Si $a = 1$, la transformation est la translation de vecteur d'affixe $b$. Elle n'a pas de point fixe (sauf si $b = 0$, auquel cas c'est l'identité).

Si $a \neq 1$, elle admet un unique point fixe $\omega$, appelé centre, obtenu en résolvant $\omega = a\omega + b$ :

et la transformation est la similitude directe de centre $\Omega$, de rapport $r = \lvert a \rvert$ et d'angle $\theta = \arg(a)$.

L'écriture réduite en découle et éclaire tout :

Elle se lit : on se place au centre, on tourne de $\theta$, on agrandit de $r$. C'est la forme sous laquelle une similitude devient géométriquement lisible, et l'énoncé la demande souvent explicitement.

Propriétés

Une similitude directe de rapport $r$ :

• multiplie toutes les distances par $r$ ;
• conserve les angles orientés — d'où le mot « directe » ;
• transforme une droite en droite, un cercle en cercle de rayon multiplié par $r$ ;
• multiplie les aires par $r^2$.

La conservation des angles est ce qui distingue les similitudes des transformations quelconques : une figure est transformée en une figure semblable, de même forme, à l'échelle près et tournée.

Composition. Composer deux similitudes directes donne une similitude directe : les rapports se multiplient, les angles s'ajoutent — puisque la composée de $z \mapsto az+b$ et $z \mapsto a'z+b'$ est $z \mapsto a'az + (a'b+b')$, dont le coefficient est $a'a$.

Reconnaître une transformation

Un énoncé donne l'écriture complexe et demande la nature. La démarche est fixe.

1. Identifier $a$ et $b$ dans $z' = az + b$.
2. Si $a = 1$ : translation de vecteur d'affixe $b$. Terminé.
3. Sinon, calculer $\lvert a \rvert$ et $\arg(a)$ : ce sont le rapport et l'angle.
4. Calculer $\omega = b/(1-a)$ : c'est le centre.
5. Nommer : rotation si $\lvert a \rvert = 1$, homothétie si $a$ est réel, similitude directe sinon.

L'étape 5 n'est pas une coquetterie de vocabulaire. Une rotation et une homothétie sont des similitudes, mais l'énoncé attend le nom le plus précis.

Le mouvement inverse

L'exercice complémentaire est aussi fréquent : on donne le centre, le rapport et l'angle, et l'on demande l'écriture complexe. On part de la forme réduite

et l'on développe. Il n'y a rien à retenir de plus : les deux sens du chapitre reposent sur la même égalité.

À vous

// Une similitude directe s'écrit z' = a·z + b.
// Ses éléments caractéristiques se lisent sur a et b, sans figure.

const mul = (u, v) => ({ re: u.re * v.re - u.im * v.im, im: u.re * v.im + u.im * v.re });
const sub = (u, v) => ({ re: u.re - v.re, im: u.im - v.im });
const div = (u, v) => {
  const d = v.re * v.re + v.im * v.im;
  return { re: (u.re * v.re + u.im * v.im) / d, im: (u.im * v.re - u.re * v.im) / d };
};

const a = { re: 0, im: 2 };   // a = 2i
const b = { re: 3, im: -1 };

// 1. Rapport et angle : module et argument de a.
const rapport = 0;   // à corriger
const angleDeg = 0;  // à corriger

// 2. Centre : le point fixe, solution de ω = a·ω + b.
const centre = { re: 0, im: 0 }; // à corriger

console.log("rapport :", rapport, " angle :", angleDeg, "°");
console.log("centre :", centre);

// 3. Vérification : le centre doit être invariant.
const image = (z) => ({ re: mul(a, z).re + b.re, im: mul(a, z).im + b.im });
console.log("image du centre :", image(centre));

const mul = (u, v) => ({ re: u.re * v.re - u.im * v.im, im: u.re * v.im + u.im * v.re });
const sub = (u, v) => ({ re: u.re - v.re, im: u.im - v.im });
const div = (u, v) => {
  const d = v.re * v.re + v.im * v.im;
  return { re: (u.re * v.re + u.im * v.im) / d, im: (u.im * v.re - u.re * v.im) / d };
};

const a = { re: 0, im: 2 };
const b = { re: 3, im: -1 };

// |a| = 2 : agrandissement de rapport 2. arg(a) = π/2 : quart de tour direct.
const rapport = Math.hypot(a.re, a.im);
const angleDeg = (Math.atan2(a.im, a.re) * 180) / Math.PI;

// ω = aω + b  ⇔  ω(1 − a) = b  ⇔  ω = b / (1 − a).
const centre = div(b, sub({ re: 1, im: 0 }, a));

console.log("rapport :", rapport, " angle :", angleDeg, "°"); // 2 et 90°
console.log("centre :", centre); // { re: 1, im: 1 }

const image = (z) => ({ re: mul(a, z).re + b.re, im: mul(a, z).im + b.im });
console.log("image du centre :", image(centre)); // le centre lui-même

À retenir

Passer du plan à l'espace ajoute une coordonnée et retire une évidence : deux droites qui ne se coupent pas ne sont plus forcément parallèles. Le chapitre consiste à remplacer l'intuition visuelle, qui devient trompeuse, par un calcul vectoriel qui ne l'est pas.

Vecteurs, colinéarité, coplanarité

Les règles de calcul vectoriel sont celles du plan — Chasles, combinaisons linéaires — et s'écrivent en coordonnées dans un repère de l'espace.

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s'il existe $k$ tel que $\vec{v} = k\vec{u}$. En coordonnées, les composantes sont proportionnelles.

Trois vecteurs sont coplanaires si l'un est combinaison linéaire des deux autres : $\vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v}$. C'est la notion vraiment nouvelle du chapitre : dans le plan, trois vecteurs le sont toujours ; dans l'espace, cela devient une condition.

Quatre points $A$, $B$, $C$, $D$ sont coplanaires si $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AD}$ le sont. C'est la question posée avant toute étude de configuration.

Produit scalaire

Il s'écrit dans l'espace comme dans le plan :

et l'équivalence qui porte tout le chapitre :

L'orthogonalité devient un calcul, pas une observation. C'est le seul outil disponible pour démontrer une perpendicularité dans l'espace, où le dessin ne prouve rien.

Plans

Un plan est déterminé par un point $A$ et un vecteur normal $\vec{n}(a;b;c)$ — un vecteur orthogonal à toutes les directions du plan. Un point $M(x;y;z)$ appartient au plan si et seulement si $\overrightarrow{AM}\cdot\vec{n} = 0$, ce qui donne l'équation cartésienne :

Lire cette équation, c'est lire le vecteur normal : les coefficients de $x$, $y$, $z$ sont ses coordonnées. C'est l'information la plus utile du chapitre, et elle est gratuite.

Deux plans sont parallèles si leurs vecteurs normaux sont colinéaires, perpendiculaires si leurs normaux sont orthogonaux.

Distance d'un point à un plan :

La valeur absolue n'est pas décorative : sans elle on obtient une quantité signée, qui indique de quel côté du plan se trouve $M$ — utile parfois, mais ce n'est pas une distance.

Droites

Une droite se décrit par un point $A$ et un vecteur directeur $\vec{u}(\alpha;\beta;\gamma)$, sous forme de représentation paramétrique :

Dans l'espace, une droite n'a pas d'équation cartésienne unique : il en faut deux, la droite étant l'intersection de deux plans. C'est pourquoi la forme paramétrique est la représentation naturelle, et celle qu'on emploie.

Le paramètre $t$ n'a aucune signification géométrique intrinsèque. Deux représentations paramétriques différentes peuvent décrire la même droite, et le vérifier demande de comparer un point et une direction — jamais les paramètres.

Positions relatives

Droite et plan. On reporte la représentation paramétrique dans l'équation du plan, ce qui donne une équation en $t$. Trois issues, et elles sont exhaustives :

Deux plans. Normaux colinéaires : plans parallèles, confondus ou strictement. Normaux non colinéaires : les plans se coupent selon une droite.

Deux droites. C'est ici que l'espace se distingue du plan. Quatre positions : confondues, strictement parallèles, sécantes, ou non coplanaires. Ce dernier cas — deux droites qui ne se coupent pas et ne sont pas parallèles — n'existe pas dans le plan, et c'est celui qu'on oublie.

Sphères

La sphère de centre $\Omega(a;b;c)$ et de rayon $R$ a pour équation

Développée, elle se présente sous une forme où le centre et le rayon ne se lisent plus : on les retrouve en regroupant les carrés, exactement comme pour un cercle dans le plan. Si la constante obtenue est négative, l'ensemble est vide — un cas d'énoncé, pas une erreur de calcul.

L'intersection d'une sphère et d'un plan est un cercle, un point, ou l'ensemble vide, selon que la distance du centre au plan est inférieure, égale ou supérieure à $R$. On compare donc une distance à un rayon, sans jamais dessiner.

À vous

// Un plan par trois points, puis la distance d'un point à ce plan.

const A = [1, 0, 2], B = [3, 1, 0], C = [0, 2, 1], M = [4, 4, 4];

const sub = (u, v) => u.map((x, i) => x - v[i]);
const dot = (u, v) => u.reduce((s, x, i) => s + x * v[i], 0);

// 1. Un vecteur normal : le produit vectoriel de AB et AC.
function produitVectoriel(u, v) {
  return [0, 0, 0]; // à corriger
}

const n = produitVectoriel(sub(B, A), sub(C, A));
console.log("vecteur normal :", n);

// 2. Équation ax + by + cz + d = 0 : (a,b,c) = n, et d se trouve avec A.
const d = 0; // à corriger
console.log("équation :", n[0], "x +", n[1], "y +", n[2], "z +", d, "= 0");

// 3. Distance de M au plan : |a·xM + b·yM + c·zM + d| / ||n||.
const distance = 0; // à corriger
console.log("distance :", distance.toFixed(6));

const A = [1, 0, 2], B = [3, 1, 0], C = [0, 2, 1], M = [4, 4, 4];

const sub = (u, v) => u.map((x, i) => x - v[i]);
const dot = (u, v) => u.reduce((s, x, i) => s + x * v[i], 0);

// Le produit vectoriel donne un vecteur orthogonal aux deux : c'est
// exactement la définition d'un vecteur normal au plan (ABC).
function produitVectoriel(u, v) {
  return [
    u[1] * v[2] - u[2] * v[1],
    u[2] * v[0] - u[0] * v[2],
    u[0] * v[1] - u[1] * v[0],
  ];
}

const n = produitVectoriel(sub(B, A), sub(C, A));
console.log("vecteur normal :", n); // [3, 4, 5]

// A appartient au plan : a·xA + b·yA + c·zA + d = 0, donc d = −n·A.
const d = -dot(n, A);
console.log("équation :", n[0], "x +", n[1], "y +", n[2], "z +", d, "= 0");

// La valeur absolue au numérateur : une distance est positive, et le signe
// de a·x + b·y + c·z + d indique seulement de quel côté du plan on est.
const distance = Math.abs(dot(n, M) + d) / Math.hypot(...n);
console.log("distance :", distance.toFixed(6));

À retenir

Ellipse, parabole, hyperbole portent des noms différents et paraissent sans rapport. Elles sont pourtant une seule et même construction, à un paramètre près. Ce paramètre s'appelle l'excentricité, et tout le chapitre consiste à voir comment il fait passer d'une courbe à l'autre.

La définition qui les unifie

Soit $F$ un point — le foyer —, $\mathcal{D}$ une droite ne passant pas par $F$ — la directrice — et $e > 0$ un réel. L'ensemble des points $M$ tels que

est une conique de foyer $F$, de directrice $\mathcal{D}$ et d'excentricité $e$.

Un seul rapport, trois courbes :

La parabole est le cas d'équilibre exact : le point est à égale distance du foyer et de la directrice. En dessous, il est plus près du foyer et la courbe se referme ; au-dessus, elle s'ouvre en deux branches.

Ellipse

Équation réduite, dans un repère où les axes de symétrie sont les axes de coordonnées :

Les grandeurs caractéristiques se déduisent de $a$ et $b$ :

Les foyers sont $F(c;0)$ et $F'(-c;0)$, les sommets $(\pm a; 0)$ et $(0;\pm b)$. Le segment de longueur $2a$ est le grand axe, celui de longueur $2b$ le petit.

Définition bifocale. L'ellipse est aussi l'ensemble des points tels que

C'est la construction du jardinier : une ficelle de longueur $2a$ tendue entre deux piquets. Cette caractérisation est souvent la plus rapide en exercice, car elle ne fait intervenir aucune directrice.

Quand $b = a$, on a $c = 0$, donc $e = 0$ : les deux foyers se confondent et l'ellipse devient un cercle. Le cercle n'est pas une conique à part, c'est le cas limite.

Hyperbole

Le signe moins est ce qui la distingue de l'ellipse, et il suffit à la reconnaître.

Noter la différence de signe avec l'ellipse : ici on ajoute. Les foyers sont donc plus loin que les sommets $(\pm a; 0)$, ce qui traduit l'ouverture de la courbe.

L'hyperbole possède deux asymptotes d'équations

qu'on obtient en remplaçant le 1 du second membre par 0 : l'équation se factorise alors en produit de deux équations de droites. C'est le moyen le plus rapide de les retrouver sans rien mémoriser.

Définition bifocale : $\lvert MF - MF' \rvert = 2a$. Une différence, là où l'ellipse avait une somme — les deux courbes sont bien les deux faces d'une même construction.

Parabole

Un seul foyer $F(p/2 \,;\, 0)$, une directrice d'équation $x = -p/2$, et le sommet à l'origine. Il n'y a pas de second foyer : la parabole est la conique du cas limite, celle où le second foyer est parti à l'infini.

Le paramètre $p$ mesure l'ouverture : plus il est grand, plus la courbe s'évase.

Reconnaître une conique

Devant une équation du second degré en $x$ et $y$, la démarche est fixe.

1. Regrouper les carrés en complétant chaque trinôme, pour faire disparaître les termes du premier degré. On obtient une équation centrée en un point $\Omega$.
2. Ramener au second membre 1, en divisant.
3. Lire les signes : deux plus donnent une ellipse (ou un cercle si les dénominateurs sont égaux), un plus et un moins une hyperbole. Un seul carré donne une parabole.
4. Extraire $a$, $b$, puis $c$, puis $e$ et les foyers.

L'étape 1 est celle qui prend du temps et où se perdent les points ; les trois autres se déroulent mécaniquement une fois la forme réduite obtenue.

Certaines équations ne donnent aucune courbe : $x^2/4 + y^2/9 = -1$ n'a aucune solution, une somme de carrés ne pouvant être négative. Le constater est la réponse.

À vous

// Une conique en équation réduite se classe sur ses deux coefficients.
//   x²/A + y²/B = 1  avec A, B > 0  → ellipse
//   x²/A − y²/B = 1                 → hyperbole
//   y² = 2px                        → parabole

// On donne A et B (négatif = signe moins devant le terme).
const CAS = [
  { nom: "16x²/16 + 9y²/9", A: 16, B: 9 },
  { nom: "x²/25 − y²/4", A: 25, B: -4 },
  { nom: "x²/9 + y²/9", A: 9, B: 9 },
  { nom: "x²/4 + y²/16", A: 4, B: 16 },
];

function classer(A, B) {
  // à compléter : renvoyer "cercle", "ellipse" ou "hyperbole"
  return "?";
}

// Excentricité : e = c/a avec c² = a² − b² (ellipse) ou c² = a² + b² (hyperbole).
function excentricite(A, B) {
  return 0; // à corriger
}

for (const { nom, A, B } of CAS) {
  console.log(nom, "→", classer(A, B), " e =", excentricite(A, B).toFixed(4));
}

const CAS = [
  { nom: "16x²/16 + 9y²/9", A: 16, B: 9 },
  { nom: "x²/25 − y²/4", A: 25, B: -4 },
  { nom: "x²/9 + y²/9", A: 9, B: 9 },
  { nom: "x²/4 + y²/16", A: 4, B: 16 },
];

function classer(A, B) {
  if (B < 0) return "hyperbole";
  return A === B ? "cercle" : "ellipse";
}

function excentricite(A, B) {
  if (B < 0) {
    // Hyperbole : c² = a² + b², et e > 1 toujours.
    const a2 = A, b2 = -B;
    return Math.sqrt(a2 + b2) / Math.sqrt(a2);
  }
  // Ellipse : a² est le PLUS GRAND des deux, c² = a² − b², et e < 1.
  const a2 = Math.max(A, B), b2 = Math.min(A, B);
  return Math.sqrt(a2 - b2) / Math.sqrt(a2);
}

for (const { nom, A, B } of CAS) {
  console.log(nom, "→", classer(A, B), " e =", excentricite(A, B).toFixed(4));
}

// Le cercle sort avec e = 0 : c'est l'ellipse dont les deux foyers sont
// confondus. Et l'hyperbole donne toujours e > 1. L'excentricité classe la
// conique à elle seule.

À retenir

Le bloc de géométrie a une particularité : chaque question peut se traiter de plusieurs façons — par les complexes, par les vecteurs, par la trigonométrie. Le sujet ne dit jamais laquelle choisir, et c'est ce choix qui décide de la longueur de la copie.

La règle qui guide : on calcule avec l'outil dans lequel l'énoncé est écrit. Un énoncé en affixes se traite en complexes ; un énoncé en coordonnées de l'espace, en produit scalaire.

Sujet 1 — Configuration du plan complexe

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct. On donne $A$, $B$, $C$ d'affixes respectives $a = 1 + i$, $b = 4 + 2i$, $c = 2 + 4i$.

1. Calculer $\dfrac{c-a}{b-a}$.
2. En déduire la nature du triangle $ABC$.

Question 1. $c - a = 1 + 3i$ et $b - a = 3 + i$. On multiplie par le conjugué du dénominateur :

Question 2. Le quotient a pour module $\lvert 3+4i \rvert / 5 = 5/5 = 1$. Or

donc $AC = AB$ : le triangle est isocèle en $A$.

Le quotient n'étant ni réel ni imaginaire pur, les points ne sont ni alignés ni le triangle rectangle en $A$. La réponse complète est donc « isocèle non rectangle en $A$ ».

Ce sujet illustre la méthode générale : un seul quotient d'affixes contient à la fois une information de longueur — son module — et une information d'angle — son argument. On le calcule une fois, on le lit deux fois.

Sujet 2 — Une similitude

Soit $s$ l'application qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe $M'$ d'affixe $z' = (1+i)z + 2 - 2i$.

1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de $s$.
2. Déterminer l'image du cercle de centre $O$ et de rayon 1.

Question 1. On a $a = 1+i$ et $b = 2-2i$. Comme $a \neq 1$, il y a un centre :

Le rapport est $\lvert 1+i \rvert = \sqrt{2}$ et l'angle $\arg(1+i) = \pi/4$.

$s$ est donc la similitude directe de centre $\Omega(2+2i)$, de rapport $\sqrt{2}$ et d'angle $\pi/4$.

Question 2. Une similitude de rapport $r$ transforme un cercle en cercle de rayon multiplié par $r$, centré sur l'image du centre. L'image de $O$ est $s(0) = 2 - 2i$. L'image du cercle est donc le cercle de centre d'affixe $2-2i$ et de rayon $\sqrt{2}$.

Aucun calcul point par point n'est nécessaire : les propriétés de conservation font tout le travail. C'est précisément à cela qu'elles servent.

Sujet 3 — Droite et plan de l'espace

Dans un repère orthonormé, on donne le plan $\mathcal{P}: 2x - y + z - 3 = 0$ et la droite $\mathcal{D}$ passant par $A(1;0;1)$ de vecteur directeur $\vec{u}(1;2;0)$.

1. Étudier la position relative de $\mathcal{D}$ et $\mathcal{P}$.
2. Calculer la distance de $A$ à $\mathcal{P}$.

Question 1. Représentation paramétrique de $\mathcal{D}$ : $x = 1+t$, $y = 2t$, $z = 1$. On reporte dans l'équation du plan :

Les termes en $t$ se compensent et la constante s'annule : l'équation est vérifiée pour tout $t$, donc la droite est contenue dans le plan.

Un raccourci existe et vaut d'être vu : $\vec{u}\cdot\vec{n} = 2 - 2 + 0 = 0$, donc la droite est parallèle au plan. Reste à savoir si elle y est incluse, ce qu'un seul point tranche — $A$ vérifie l'équation, donc elle l'est. Deux lignes au lieu d'un système.

Question 2. Puisque $A$ appartient au plan, la distance est nulle. La question n'était pas un piège gratuit : elle vérifie qu'on a bien compris la conclusion précédente, et une réponse numérique non nulle signalerait une contradiction avec la question 1.

Sujet 4 — Reconnaître une conique

Étudier la nature de la courbe d'équation $9x^2 + 4y^2 - 36x + 8y + 4 = 0$.

On regroupe les carrés, variable par variable :

On divise par 36 pour ramener le second membre à 1 :

Deux signes plus, dénominateurs différents : c'est une ellipse de centre $\Omega(2;-1)$. Le plus grand dénominateur est 9, donc $a = 3$ le long de l'axe vertical, et $b = 2$. Alors $c^2 = 9 - 4 = 5$, les foyers sont sur la verticale passant par $\Omega$, à distance $\sqrt{5}$, et $e = \sqrt{5}/3 \approx 0{,}745$.

Le grand axe est vertical parce que le plus grand dénominateur accompagne $y$ : c'est le détail que la mise sous forme réduite rend lisible, et qu'on lit à l'envers si on se contente de l'équation développée.

QCM du bloc

Les gestes du bloc

À retenir