Terminale C · Mathématiques

Cours 4 — Arithmétique et probabilités

Le bloc le plus discriminant de l'épreuve, et la modélisation d'une expérience aléatoire.

4 chapitres · 30 h de travail estimé

1. Arithmétique12 h
2. Probabilités10 h
3. Statistiques à deux variables3 h
4. Sujets types — Arithmétique et probabilités5 h

Chapitre 1 · 12 h

Arithmétique

Divisibilité, congruences, PGCD et PPCM, Bézout et Gauss, nombres premiers, systèmes de numération.

L'arithmétique ne travaille que sur les entiers, et cette restriction change tout : une division ne tombe plus juste, et c'est précisément le reste qui devient intéressant. Le chapitre est court en outils et long en raisonnements — c'est celui où l'on démontre le plus, avec le moins de calcul.

Divisibilité et division euclidienne

$b$ divise $a$ , noté $b \mid a$ , s'il existe un entier $k$ tel que $a = kb$ .

La division euclidienne de $a$ par $b > 0$ fournit un unique couple $(q;r)$ tel que

a = bq + r \qquad \text{avec} \qquad 0 \leqslant r < b

L'encadrement du reste fait partie de l'énoncé du théorème : sans lui, l'écriture n'est pas unique, et l'unicité est ce qui donne au reste toute sa valeur. Retenir que $b \mid a \iff r = 0$ .

PGCD et algorithme d'Euclide

Le PGCD de $a$ et $b$ est le plus grand entier divisant les deux. Il se calcule sans factoriser, par l'observation suivante :

\operatorname{pgcd}(a,b) = \operatorname{pgcd}(b, r) \qquad \text{où } r = a \bmod b

On itère jusqu'à un reste nul ; le dernier reste non nul est le PGCD. C'est l'algorithme d'Euclide, et son efficacité est remarquable : il traite des nombres de plusieurs centaines de chiffres là où la factorisation échoue.

$a$ et $b$ sont premiers entre eux si $\operatorname{pgcd}(a,b) = 1$ . Attention à ne pas confondre avec « nombres premiers » : 8 et 9 sont premiers entre eux sans qu'aucun des deux ne soit premier.

Bézout et Gauss

Théorème de Bézout. $a$ et $b$ sont premiers entre eux si et seulement s'il existe des entiers $u$ et $v$ tels que

au + bv = 1

L'équivalence se lit dans les deux sens, et les deux servent. De gauche à droite, elle fournit un couple $(u;v)$ qu'on calcule par l'algorithme d'Euclide remonté. De droite à gauche, elle démontre une primalité relative : exhiber une combinaison égale à 1 suffit, sans calculer le moindre PGCD.

Théorème de Gauss. Si $a \mid bc$ et si $a$ et $b$ sont premiers entre eux, alors $a \mid c$ .

L'hypothèse de primalité relative est indispensable : $6 \mid 4 \times 3$ sans que 6 divise ni 4 ni 3. C'est le théorème le plus employé du chapitre, et l'oubli de son hypothèse la faute la plus fréquente.

Quiz · 1 question

On sait que 7 divise 5n et que 7 est premier avec 5. Que conclure ?

7 divise n, par le théorème de Gauss — Gauss
7 divise 5, ce qui est faux donc l'énoncé est absurde — contradiction
On ne peut rien conclure sans connaître n — insuffisant

Réponse : C'est exactement l'énoncé de Gauss : 7 | 5n, et 7 premier avec 5, donc 7 | n. Sans l'hypothèse de primalité relative la conclusion tomberait — 6 divise 4×3 sans diviser 4 ni 3.

Nombres premiers

$p \geqslant 2$ est premier s'il n'admet que 1 et lui-même comme diviseurs positifs.

Deux résultats structurent le chapitre. Il existe une infinité de nombres premiers — la démonstration d'Euclide, par l'absurde, tient en trois lignes et tombe régulièrement. Et tout entier $n \geqslant 2$ se décompose de manière unique en produit de facteurs premiers.

De la décomposition se lisent le nombre de diviseurs, le PGCD et le PPCM. Un test de primalité n'exige d'essayer les diviseurs que jusqu'à $\sqrt{n}$ : au-delà, le cofacteur serait plus petit et aurait déjà été trouvé.

\operatorname{pgcd}(a,b) \times \operatorname{ppcm}(a,b) = ab

Cette relation évite de calculer le PPCM séparément.

Congruences

$a \equiv b \pmod{n}$ signifie que $n$ divise $a - b$ , c'est-à-dire que $a$ et $b$ ont le même reste dans la division par $n$ .

Les congruences se manipulent comme des égalités pour l'addition, la soustraction, la multiplication et l'élévation à une puissance :

a \equiv b \;\text{ et }\; c \equiv d \;\;\Longrightarrow\;\; a + c \equiv b + d \quad\text{et}\quad ac \equiv bd \pmod n

Mais pas pour la division. $6 \equiv 12 \pmod 6$ sans que $1 \equiv 2 \pmod 6$ . Simplifier une congruence exige que le facteur soit premier avec le module — c'est encore Gauss.

L'usage principal est de remplacer un calcul par un petit reste. Pour trouver le dernier chiffre de $7^{2024}$ , on travaille modulo 10 : $7^1 \equiv 7$ , $7^2 \equiv 9$ , $7^3 \equiv 3$ , $7^4 \equiv 1$ , et le cycle recommence. Comme $2024 = 4 \times 506$ , on a $7^{2024} \equiv 1 \pmod{10}$ : le dernier chiffre est 1.

Quiz · 1 question

De 5x ≡ 5y (mod 10), peut-on déduire x ≡ y (mod 10) ?

Oui, on simplifie par 5 des deux côtés — simplification
Non : 5 n'est pas premier avec 10 — hypothèse manquante
Oui, mais seulement si x et y sont positifs — signe

Réponse : Avec x = 1 et y = 3 : 5 ≡ 15 (mod 10) est vrai, mais 1 ≡ 3 (mod 10) est faux. On ne simplifie une congruence que par un facteur premier avec le module. La division est la seule opération que les congruences ne supportent pas librement.

Petit théorème de Fermat

Si $p$ est premier et $a$ non divisible par $p$ :

a^{p-1} \equiv 1 \pmod p

Il réduit instantanément les grands exposants modulo un nombre premier, et fonde le chiffrement RSA — c'est le pont entre ce chapitre et la cryptographie.

Équations diophantiennes

L'équation $ax + by = c$ en entiers admet des solutions si et seulement si $\operatorname{pgcd}(a,b)$ divise $c$ . La méthode est fixe :

Calculer $d = \operatorname{pgcd}(a,b)$ et vérifier que $d \mid c$ ; sinon, aucune solution.
Trouver une solution particulière, par l'algorithme d'Euclide remonté.
Écrire la solution générale : $x = x_0 + k\,b/d$ et $y = y_0 - k\,a/d$ , $k$ entier.

L'étape 3 mérite attention : les coefficients $b/d$ et $a/d$ sont croisés et de signes opposés. Les intervertir donne une famille qui ne vérifie pas l'équation, ce qu'une vérification sur $k=1$ détecte aussitôt.

À vous

Exercice de code

Écrivez l'algorithme d'Euclide, puis sa version étendue qui produit les coefficients de Bézout.

Point de départ

// L'algorithme d'Euclide donne le PGCD. Sa version « étendue » donne en
// prime les coefficients de Bézout, et c'est elle qui résout les équations.

// 1. PGCD par divisions successives.
function pgcd(a, b) {
  while (b !== 0) {
    // à compléter : remplacer (a, b) par (b, reste de a par b)
  }
  return a;
}

// 2. Euclide étendu : trouver u et v tels que a·u + b·v = pgcd(a, b).
function bezout(a, b) {
  if (b === 0) return { d: a, u: 1, v: 0 };
  const { d, u, v } = bezout(b, a % b);
  return { d, u: 0, v: 0 }; // à corriger
}

console.log("pgcd(1071, 462) =", pgcd(1071, 462)); // attendu : 21

const { d, u, v } = bezout(1071, 462);
console.log("d =", d, " u =", u, " v =", v);
console.log("vérification :", 1071 * u + 462 * v, "doit valoir", d);

Solution

function pgcd(a, b) {
  while (b !== 0) {
    [a, b] = [b, a % b];
  }
  return a;
}

// Si b·u' + (a mod b)·v' = d, alors en écrivant a mod b = a − ⌊a/b⌋·b
// on obtient a·v' + b·(u' − ⌊a/b⌋·v') = d.
function bezout(a, b) {
  if (b === 0) return { d: a, u: 1, v: 0 };
  const { d, u, v } = bezout(b, a % b);
  return { d, u: v, v: u - Math.floor(a / b) * v };
}

console.log("pgcd(1071, 462) =", pgcd(1071, 462)); // 21

const { d, u, v } = bezout(1071, 462);
console.log("d =", d, " u =", u, " v =", v); // 21, −3, 7
console.log("vérification :", 1071 * u + 462 * v, "doit valoir", d);

// Le couple (u, v) n'est pas unique : (u + k·b/d, v − k·a/d) convient aussi.
// C'est ce qui donne l'infinité de solutions d'une équation diophantienne.

À retenir

Flashcards · 5 cartes

Quelle hypothèse le théorème de Gauss exige-t-il ?: Que a et b soient premiers entre eux. Sans elle, 6 divise 4×3 sans diviser ni 4 ni 3 — la conclusion tombe.
Que dit le théorème de Bézout, et à quoi sert-il dans les deux sens ?: a et b premiers entre eux ⟺ il existe u, v avec au + bv = 1. De gauche à droite on calcule u et v ; de droite à gauche on DÉMONTRE une primalité relative.
Quelle opération les congruences ne supportent-elles pas ?: La division. Simplifier exige que le facteur soit premier avec le module — sinon 5 ≡ 15 (mod 10) donnerait 1 ≡ 3.
Jusqu'où tester les diviseurs pour savoir si n est premier ?: Jusqu'à √n. Au-delà, le cofacteur serait plus petit et aurait déjà été rencontré.
Quand ax + by = c admet-elle des solutions entières ?: Si et seulement si pgcd(a, b) divise c. C'est la toute première vérification, avant tout calcul.

Chapitre 2 · 10 h

Probabilités

Modéliser une expérience aléatoire : conditionnement, indépendance, variable aléatoire, loi binomiale.

Les probabilités mesurent l'incertitude avec les outils du dénombrement. La difficulté du chapitre n'est presque jamais calculatoire : elle est de traduire un énoncé en français dans le langage des événements, et de savoir quelle probabilité on cherche.

Vocabulaire

Une expérience aléatoire a un ensemble de résultats possibles, l'univers $\Omega$ . Un événement est une partie de $\Omega$ .

En situation d'équiprobabilité — dés équilibrés, tirages au hasard —

P(A) = \frac{\operatorname{card}(A)}{\operatorname{card}(\Omega)}

et le calcul redevient du dénombrement : les formules du bloc I servent directement.

P(\bar{A}) = 1 - P(A) \qquad P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Le terme soustrait n'est nécessaire que si les événements ne sont pas incompatibles. Comme en dénombrement, un énoncé en « au moins un » se traite par le complémentaire.

Probabilité conditionnelle

P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \qquad (P(A) \neq 0)

$P_A(B)$ se lit « probabilité de $B$ sachant $A$ ». On restreint l'univers à $A$ , et l'on mesure la part de $B$ à l'intérieur.

La formule s'emploie surtout retournée, sous le nom de probabilités composées :

P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)

C'est la règle de lecture d'un arbre pondéré : on multiplie le long d'un chemin. L'arbre est l'outil le plus sûr du chapitre, et le dessiner avant tout calcul évite la plupart des erreurs.

Formule des probabilités totales

Si $A_1, \dots, A_n$ forment une partition de l'univers — deux à deux incompatibles et de réunion $\Omega$ :

P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i) \times P_{A_i}(B)

Sur un arbre : on additionne les branches qui aboutissent à $B$ . La partition la plus fréquente est la plus simple, $\{A, \bar A\}$ .

Formule de Bayes

P_B(A) = \frac{P(A) \times P_A(B)}{P(B)}

Elle retourne le conditionnement : on connaît la probabilité de l'effet sachant la cause, on veut celle de la cause sachant l'effet. C'est la situation de tout diagnostic — on observe un test positif, on cherche la probabilité de la maladie.

Le résultat est régulièrement contre-intuitif, et pour une raison de proportions : quand la maladie est rare, les faux positifs issus d'une population saine très nombreuse peuvent dépasser les vrais positifs. La qualité du test ne suffit pas à conclure ; la prévalence compte autant.

Quiz · 1 question

P(A|B) et P(B|A) sont-elles égales ?

Oui, l'intersection est symétrique — symétrie
Non, sauf si P(A) = P(B) : les dénominateurs diffèrent — dénominateurs
Oui, si A et B sont indépendants — indépendance

Réponse : P(A∩B) est bien symétrique, mais on divise par P(B) dans un cas et par P(A) dans l'autre. Confondre les deux — « probabilité d'être malade sachant le test positif » et « probabilité d'un test positif sachant la maladie » — est l'erreur que la formule de Bayes existe pour corriger.

Indépendance

$A$ et $B$ sont indépendants si

P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \qquad\text{équivalent à}\qquad P_A(B) = P(B)

L'indépendance ne se devine pas, elle se vérifie ou se déclare par l'énoncé — « les tirages sont effectués avec remise », « les lancers sont indépendants ». La supposer sans justification est une faute, et l'intuition trompe souvent.

Attention à ne pas confondre avec l'incompatibilité : deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants, puisque $P(A \cap B) = 0 \neq P(A)P(B)$ .

Variables aléatoires

Une variable aléatoire $X$ associe un nombre à chaque résultat. Sa loi est la donnée des $P(X = x_i)$ , dont la somme vaut 1 — vérification qui détecte la plupart des erreurs de loi.

E(X) = \sum x_i\,P(X=x_i) \qquad V(X) = E(X^2) - E(X)^2 \qquad \sigma(X) = \sqrt{V(X)}

L'espérance est la valeur moyenne sur un grand nombre de répétitions. Un jeu est dit équitable si $E(X) = 0$ — c'est la question posée dans presque tous les exercices de jeu.

L'écart type mesure la dispersion autour de l'espérance ; il s'exprime dans la même unité que $X$ , contrairement à la variance.

Loi binomiale

Le cadre : $n$ épreuves de Bernoulli — deux issues, succès de probabilité $p$ — identiques et indépendantes. $X$ compte les succès. Alors

P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

E(X) = np \qquad V(X) = np(1-p)

La formule se lit directement : $p^k$ pour les $k$ succès, $(1-p)^{n-k}$ pour les échecs, et $\binom{n}{k}$ pour les positions possibles des succès — le dénombrement du bloc I, exactement.

Les trois conditions ne sont pas décoratives. Un tirage sans remise n'est pas binomial : les épreuves ne sont plus indépendantes ni identiques. Vérifier le cadre avant d'appliquer la formule fait partie de la réponse.

Quiz · 1 question

On tire 5 boules SANS remise dans une urne. Le nombre de boules rouges suit-il une loi binomiale ?

Oui, il y a deux issues à chaque tirage — deux issues
Non : sans remise, les tirages ne sont ni indépendants ni identiques — hypothèses
Oui, si l'urne contient au moins 5 boules — effectif

Réponse : Deux issues ne suffisent pas. La composition de l'urne change à chaque tirage : la probabilité de succès varie, et les épreuves dépendent des précédentes. Vérifier les trois conditions — mêmes épreuves, indépendantes, deux issues — précède toute application de la formule.

À vous

Exercice de code

Calculez la probabilité d'être malade sachant que le test est positif, puis le nombre de faux positifs attendus.

Point de départ

// Un test de dépistage : 99 % de sensibilité, 98 % de spécificité,
// maladie touchant 0,5 % de la population.
// Un test positif : quelle probabilité d'être réellement malade ?

const P_MALADE = 0.005;
const SENSIBILITE = 0.99;   // P(+ | malade)
const SPECIFICITE = 0.98;   // P(− | sain)

// 1. Probabilités totales : P(+) = P(+|M)P(M) + P(+|S)P(S).
const pPositif = 0; // à corriger

// 2. Bayes : P(M|+) = P(+|M)P(M) / P(+).
const pMaladeSachantPositif = 0; // à corriger

console.log("P(+) =", pPositif.toFixed(5));
console.log("P(malade | +) =", (pMaladeSachantPositif * 100).toFixed(2), "%");

// 3. Loi binomiale : sur 1000 personnes saines testées, combien de faux
//    positifs en moyenne ? E(X) = n·p.
const fauxPositifsAttendus = 0; // à corriger
console.log("faux positifs attendus sur 1000 sains :", fauxPositifsAttendus);

Solution

const P_MALADE = 0.005;
const SENSIBILITE = 0.99;
const SPECIFICITE = 0.98;

const P_SAIN = 1 - P_MALADE;
const FAUX_POSITIF = 1 - SPECIFICITE; // P(+ | sain) = 0,02

const pPositif = SENSIBILITE * P_MALADE + FAUX_POSITIF * P_SAIN;
const pMaladeSachantPositif = (SENSIBILITE * P_MALADE) / pPositif;

console.log("P(+) =", pPositif.toFixed(5));
console.log("P(malade | +) =", (pMaladeSachantPositif * 100).toFixed(2), "%"); // ≈ 19,92 %

// Un test à 99 % ne donne qu'une chance sur cinq d'être malade. La raison
// tient au nombre : 995 personnes saines produisent une vingtaine de faux
// positifs, contre à peine 5 vrais positifs. La prévalence écrase la qualité
// du test — c'est le résultat le plus contre-intuitif du chapitre.
const fauxPositifsAttendus = 1000 * FAUX_POSITIF;
console.log("faux positifs attendus sur 1000 sains :", fauxPositifsAttendus); // 20

À retenir

Flashcards · 5 cartes

Comment se lit un arbre pondéré ?: On multiplie le long d'un chemin (probabilités composées), on additionne les chemins qui aboutissent au même événement (probabilités totales).
Que retourne la formule de Bayes ?: Le conditionnement : de P(effet | cause) vers P(cause | effet). C'est la formule du diagnostic, et son résultat surprend quand la maladie est rare.
Incompatibles et indépendants, est-ce la même chose ?: Non, et c'est même incompatible : deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants, puisque P(A∩B) = 0.
Quelles conditions pour appliquer la loi binomiale ?: n épreuves à deux issues, identiques et indépendantes. Un tirage sans remise ne les vérifie pas — les vérifier fait partie de la réponse.
Que vaut l'espérance d'une loi binomiale ?: E(X) = np, et V(X) = np(1−p). Sur 1000 essais à 2 %, on attend 20 succès en moyenne.

Chapitre 3 · 3 h

Statistiques à deux variables

Nuage de points, point moyen, covariance, droite des moindres carrés, coefficient de corrélation.

Les statistiques à deux variables cherchent à savoir si deux grandeurs varient ensemble, et si oui, selon quelle loi. C'est le seul chapitre du programme où l'on part de données et non d'un énoncé mathématique — et la seule conclusion qu'il autorise est plus prudente qu'il n'y paraît.

Le nuage de points

Une série double associe à chaque individu un couple $(x_i;y_i)$ . Représentés dans un repère, ces couples forment un nuage de points.

Le point moyen $G(\bar{x};\bar{y})$ a pour coordonnées les deux moyennes. Il joue le rôle de centre de gravité du nuage, et toute droite d'ajustement passera par lui.

Lire le nuage précède tout calcul. Si les points ne s'alignent visiblement pas, un ajustement affine n'a pas de sens et le calculer quand même produit une droite dénuée de signification.

Covariance et corrélation

La covariance mesure la tendance des deux variables à s'écarter de leur moyenne dans le même sens :

\operatorname{cov}(x,y) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})

Positive, les variables varient dans le même sens ; négative, en sens contraire. Mais sa valeur dépend des unités : la remplacer par des centimètres au lieu de mètres la multiplie par cent, sans que la relation ait changé.

Le coefficient de corrélation linéaire corrige ce défaut en normalisant :

r = \frac{\operatorname{cov}(x,y)}{\sigma_x \, \sigma_y} \qquad \text{avec} \qquad -1 \leqslant r \leqslant 1

Il est sans dimension, donc comparable d'une série à l'autre. Plus $\lvert r \rvert$ est proche de 1, plus les points sont alignés ; proche de 0, aucune relation affine ne se dégage.

Le mot affine est essentiel : $r$ ne mesure qu'un alignement. Des points parfaitement disposés sur une parabole peuvent donner $r$ proche de 0, alors que la relation entre $x$ et $y$ est parfaitement déterministe.

Quiz · 1 question

Un coefficient de corrélation proche de 0 signifie :

Que les deux variables sont indépendantes — indépendance
Qu'aucune relation AFFINE ne se dégage — une autre relation reste possible — affine seulement
Que les données sont erronées — erreur

Réponse : r ne mesure qu'un alignement. Des points sur une parabole centrée donnent r ≈ 0 alors que y est entièrement déterminé par x. Conclure à l'indépendance à partir de r est un abus fréquent, et il est faux.

Droite des moindres carrés

Parmi toutes les droites, on cherche celle qui minimise la somme des carrés des écarts verticaux entre les points et la droite. Elle est unique, d'équation $y = ax + b$ avec

a = \frac{\operatorname{cov}(x,y)}{\operatorname{var}(x)} \qquad b = \bar{y} - a\bar{x}

La seconde formule dit exactement que la droite passe par le point moyen $G$ : c'est la propriété à retenir, et elle fournit un contrôle immédiat du calcul.

Pourquoi les carrés des écarts ? Parce que la somme des écarts simples est nulle pour une infinité de droites — les écarts positifs compensent les négatifs. Élever au carré supprime les signes et pénalise davantage les grands écarts, ce qui donne une solution unique.

Il existe aussi une droite de régression de $x$ en $y$ , qui minimise les écarts horizontaux. Les deux droites diffèrent, et se confondent seulement si $\lvert r \rvert = 1$ . L'énoncé précise toujours laquelle il attend.

Ce qu'un ajustement autorise

Une fois la droite obtenue, on peut interpoler — estimer une valeur à l'intérieur de la plage observée — avec une confiance raisonnable.

Extrapoler au-delà de cette plage est une autre affaire. Rien ne garantit que la tendance se prolonge, et l'ajustement n'en dit rien : il décrit les données observées, pas la loi qui les produit. Une croissance affine observée sur cinq ans ne prédit pas l'année vingt.

Enfin, une corrélation forte n'établit aucune causalité. Deux grandeurs peuvent varier ensemble parce qu'une troisième les gouverne toutes deux, ou par pure coïncidence sur un échantillon trop petit. C'est la mise en garde qui clôt le chapitre, et la seule que les mathématiques ne peuvent pas lever seules.

Quiz · 1 question

Par quel point la droite des moindres carrés passe-t-elle nécessairement ?

Par l'origine du repère — origine
Par le point moyen G(x̄ ; ȳ) — point moyen
Par le premier point du nuage — premier point

Réponse : C'est ce qu'exprime b = ȳ − a·x̄. La propriété fournit un contrôle immédiat : si le point moyen ne vérifie pas l'équation obtenue, le calcul est faux. Elle n'est presque jamais demandée telle quelle, et sert constamment.

À vous

Exercice de code

Calculez la droite d'ajustement et le coefficient de corrélation, puis vérifiez le passage par le point moyen.

Point de départ

// Droite d'ajustement par la méthode des moindres carrés.
const X = [1, 2, 3, 4, 5, 6];
const Y = [2.1, 3.9, 6.2, 7.8, 10.1, 12.2];

const moyenne = (t) => t.reduce((s, x) => s + x, 0) / t.length;

// 1. Covariance et variances.
function covariance(x, y) {
  const mx = moyenne(x), my = moyenne(y);
  return 0; // à corriger : moyenne des (xi − mx)(yi − my)
}
function variance(t) {
  const m = moyenne(t);
  return 0; // à corriger
}

// 2. Droite y = ax + b.
const a = 0; // à corriger : cov(x,y) / var(x)
const b = 0; // à corriger : la droite passe par le point moyen

// 3. Coefficient de corrélation.
const r = 0; // à corriger

console.log("y =", a.toFixed(4), "x +", b.toFixed(4));
console.log("r =", r.toFixed(6));
console.log("le point moyen est-il sur la droite ?",
  (a * moyenne(X) + b).toFixed(6), "vs", moyenne(Y).toFixed(6));

Solution

const X = [1, 2, 3, 4, 5, 6];
const Y = [2.1, 3.9, 6.2, 7.8, 10.1, 12.2];

const moyenne = (t) => t.reduce((s, x) => s + x, 0) / t.length;

function covariance(x, y) {
  const mx = moyenne(x), my = moyenne(y);
  return moyenne(x.map((xi, i) => (xi - mx) * (y[i] - my)));
}
function variance(t) {
  const m = moyenne(t);
  return moyenne(t.map((x) => (x - m) ** 2));
}

const a = covariance(X, Y) / variance(X);
// La droite des moindres carrés passe TOUJOURS par le point moyen :
// c'est ce qui détermine b une fois a connu.
const b = moyenne(Y) - a * moyenne(X);

const r = covariance(X, Y) / Math.sqrt(variance(X) * variance(Y));

console.log("y =", a.toFixed(4), "x +", b.toFixed(4));
console.log("r =", r.toFixed(6)); // ≈ 0,9993 : ajustement affine excellent
console.log("le point moyen est-il sur la droite ?",
  (a * moyenne(X) + b).toFixed(6), "vs", moyenne(Y).toFixed(6));

À retenir

Flashcards · 5 cartes

Que mesure exactement le coefficient de corrélation r ?: L'intensité d'un alignement AFFINE, rien de plus. Un r proche de 0 n'exclut pas une relation parabolique parfaite.
Par quel point passe la droite des moindres carrés ?: Par le point moyen G(x̄ ; ȳ). C'est le contrôle le plus rapide d'un calcul d'ajustement.
Pourquoi minimise-t-on les CARRÉS des écarts ?: Parce que la somme des écarts simples est nulle pour une infinité de droites. Le carré supprime les signes et rend la solution unique.
Interpolation et extrapolation : quelle différence de confiance ?: Interpoler dans la plage observée est raisonnable. Extrapoler au-delà suppose que la tendance se prolonge, ce que l'ajustement ne dit pas.
Une forte corrélation prouve-t-elle une causalité ?: Non. Une troisième variable peut gouverner les deux, ou l'échantillon être trop petit. C'est la limite que les mathématiques ne lèvent pas.

Chapitre 4 · 5 h

Sujets types — Arithmétique et probabilités

Exercices de bac : congruences, numération, arbres de probabilité et loi binomiale.

Le dernier bloc réunit trois chapitres qui n'ont pas grand-chose en commun, sauf une exigence : on n'y calcule rien avant d'avoir vérifié les hypothèses. Gauss demande une primalité relative, la loi binomiale trois conditions, l'ajustement affine un nuage effectivement aligné. Un résultat obtenu sans ces vérifications n'est pas approximatif, il est faux.

Sujet 1 — Une équation diophantienne

Résoudre dans $\mathbb{Z}^2$ l'équation $17x + 40y = 1$ .

Existence. $\operatorname{pgcd}(17,40)$ : par l'algorithme d'Euclide, $40 = 2\times17+6$ , $17 = 2\times6+5$ , $6 = 1\times5+1$ , $5 = 5\times1+0$ . Le PGCD vaut 1, qui divise 1 : il y a des solutions.

Solution particulière. On remonte les divisions :

1 = 6 - 5 = 6 - (17 - 2\times6) = 3\times6 - 17 = 3(40 - 2\times17) - 17 = 3\times40 - 7\times17

d'où $17\times(-7) + 40\times 3 = 1$ : le couple $(-7\,;3)$ convient.

Solution générale. En soustrayant l'équation particulière de l'équation générale :

17(x+7) = -40(y-3)

17 divise $40(y-3)$ et 17 est premier avec 40, donc par le théorème de Gauss 17 divise $y - 3$ . On pose $y = 3 + 17k$ , d'où $x = -7 - 40k$ .

\mathcal{S} = \left\{(-7 - 40k \;;\; 3 + 17k) \;,\; k \in \mathbb{Z}\right\}

Gauss est l'articulation du raisonnement, et l'omettre laisse la conclusion sans justification — c'est le point que les corrigés sanctionnent.

Quiz · 1 question

Dans la solution générale, les coefficients 40 et 17 sont croisés par rapport à l'équation 17x + 40y = 1. Pourquoi ?

Par convention d'écriture — convention
Parce que 17(x+7) = −40(y−3) : chaque variable se déplace du pas dicté par l'AUTRE coefficient — l'équation elle-même
C'est une erreur, il faudrait 17 avec x — erreur

Réponse : Pour que l'égalité se conserve, augmenter y de 17 doit faire varier x de −40 : les variations se compensent, et c'est le coefficient de l'autre variable qui fixe le pas. Intervertir donne une famille qui ne vérifie pas l'équation — une vérification sur k = 1 le montre aussitôt.

Sujet 2 — Un dernier chiffre

Déterminer le reste de la division euclidienne de $3^{2024}$ par 7.

On calcule les premières puissances modulo 7 : $3^1 \equiv 3$ , $3^2 \equiv 2$ , $3^3 \equiv 6$ , $3^4 \equiv 4$ , $3^5 \equiv 5$ , $3^6 \equiv 1 \pmod 7$ .

Le cycle est de longueur 6 — ce que le petit théorème de Fermat annonçait, 7 étant premier et 3 non divisible par 7. Comme $2024 = 6 \times 337 + 2$ :

3^{2024} = \left(3^{6}\right)^{337} \times 3^{2} \equiv 1^{337} \times 2 \equiv 2 \pmod 7

Le reste est 2.

La méthode est toujours la même : trouver le rang où la puissance revient à 1, puis réduire l'exposant modulo ce rang. Aucun grand calcul n'est nécessaire, et c'est tout l'intérêt des congruences.

Sujet 3 — Un arbre et un retournement

Une usine a deux machines. $A$ produit 60 % des pièces avec 3 % de défauts, $B$ produit 40 % des pièces avec 5 % de défauts.

Quelle est la probabilité qu'une pièce prise au hasard soit défectueuse ?

Une pièce est défectueuse. Quelle est la probabilité qu'elle vienne de $A$ ?

Question 1. Probabilités totales, sur la partition $\{A;B\}$ :

P(D) = 0{,}6 \times 0{,}03 + 0{,}4 \times 0{,}05 = 0{,}018 + 0{,}020 = 0{,}038

Question 2. Bayes :

P_D(A) = \frac{P(A) \times P_A(D)}{P(D)} = \frac{0{,}018}{0{,}038} \approx 0{,}474

Environ 47 %. Le résultat mérite un commentaire : $A$ est la machine la plus fiable, et pourtant elle fournit presque la moitié des pièces défectueuses — parce qu'elle produit beaucoup plus. Un taux de défaut faible sur un gros volume peut peser autant qu'un taux élevé sur un petit. C'est la même mécanique que le test de dépistage, dans un habillage industriel.

Quiz · 1 question

Dans le sujet 3, pourquoi la machine la plus fiable fournit-elle près de la moitié des pièces défectueuses ?

Parce que son taux de défaut a été mal estimé — erreur de données
Parce qu'elle produit un volume bien plus important — effet de volume
Parce que les deux machines sont en réalité équivalentes — équivalence

Réponse : 0,6 × 0,03 = 0,018 contre 0,4 × 0,05 = 0,020 : les deux contributions sont presque égales, le volume compensant la fiabilité. C'est l'effet que la formule des probabilités totales rend visible et que l'intuition manque systématiquement.

Sujet 4 — Un ajustement

On relève la production $y$ (en milliers d'unités) d'une usine sur six années $x$ . Le coefficient de corrélation calculé vaut $r = 0{,}98$ et la droite d'ajustement est $y = 1{,}9x + 0{,}4$ .

Que peut-on dire de l'ajustement ?

Estimer la production pour $x = 4$ , puis pour $x = 25$ .

Question 1. $r$ proche de 1 : les points sont fortement alignés, un ajustement affine est pertinent sur la plage observée.

Question 2. Pour $x = 4$ : $y = 1{,}9 \times 4 + 0{,}4 = 8$ milliers d'unités. La valeur est à l'intérieur de la plage des six années : c'est une interpolation, et l'estimation est raisonnable.

Pour $x = 25$ : le calcul donne $47{,}9$ , mais cette valeur n'a aucune garantie. Rien n'assure que la croissance affine se prolonge vingt ans ; une usine sature, un marché se retourne. Le modèle décrit ce qui a été observé, il ne prédit pas ce qui ne l'a pas été.

Répondre « $47{,}9$ » sans cette réserve est une réponse incomplète. Le chapitre attend qu'on distingue interpoler d'extrapoler.

QCM du bloc

QCM de bloc · 7 questions

Bloc IV — Arithmétique et probabilités

1. 8 et 9 sont-ils premiers entre eux ?

Non, aucun des deux n'est un nombre premier
Oui, leur PGCD vaut 1
Non, ils sont consécutifs

Réponse : « Premiers entre eux » signifie PGCD égal à 1, et ne dit rien de la primalité de chacun. 8 = 2³ et 9 = 3² n'ont aucun facteur commun. Deux entiers consécutifs sont d'ailleurs toujours premiers entre eux.

2. L'équation 6x + 9y = 4 admet-elle des solutions entières ?

Oui, une infinité
Non : pgcd(6, 9) = 3 ne divise pas 4
Oui, une seule

Réponse : Le membre de gauche est toujours multiple de 3, le membre de droite ne l'est pas. La condition « pgcd(a,b) divise c » est la toute première vérification, et elle tranche ici sans aucun calcul supplémentaire.

3. Pour tester si 211 est premier, jusqu'où faut-il essayer les diviseurs ?

Jusqu'à 210
Jusqu'à 105, la moitié
Jusqu'à 14, car 14² dépasse 211

Réponse : Jusqu'à √211 ≈ 14,5. Au-delà, tout diviseur aurait un cofacteur inférieur à 14, déjà testé. Cette borne fait passer l'essai de 210 divisions à 6 — seuls les nombres premiers jusqu'à 13 sont à essayer.

4. Deux événements de probabilités non nulles sont incompatibles. Sont-ils indépendants ?

Oui, l'incompatibilité est une forme d'indépendance
Non, jamais : P(A∩B) = 0 alors que P(A)P(B) ≠ 0
Cela dépend des probabilités

Réponse : Les deux notions sont non seulement distinctes mais contradictoires ici. Incompatibles signifie que la réalisation de l'un EXCLUT l'autre : c'est une dépendance maximale, à l'opposé de l'indépendance.

5. X suit une loi binomiale de paramètres n = 50 et p = 0,2. Que vaut E(X) ?

Réponse : E(X) = np = 50 × 0,2 = 10. La variance vaudrait np(1−p) = 8 — c'est elle qu'on confond avec l'espérance quand on retient une seule formule pour deux grandeurs.

6. Un nuage de points donne r = 0,05. Que conclure ?

Les variables sont indépendantes
Aucune relation affine ne se dégage ; une autre relation reste possible
Les mesures sont fausses

Réponse : r ne mesure qu'un alignement. Des points disposés sur une parabole centrée donnent un r quasi nul alors que y est entièrement déterminé par x. Regarder le nuage avant de conclure fait partie de la méthode.

7. La droite des moindres carrés obtenue est y = 2x + 1, et le point moyen est (3 ; 8). Que conclure ?

L'ajustement est excellent
Il y a une erreur de calcul : la droite doit passer par le point moyen
Il faut recalculer le coefficient de corrélation

Réponse : 2 × 3 + 1 = 7, et non 8 : le point moyen n'est pas sur la droite, ce qui est impossible pour une droite des moindres carrés. C'est le contrôle le plus rapide d'un calcul d'ajustement, et il détecte l'erreur sans rien refaire.

Les gestes du bloc

L'énoncé demande…	Le geste
résoudre $ax + by = c$ dans $\mathbb{Z}$	vérifier que $\operatorname{pgcd}(a,b) \mid c$ , puis Euclide remonté et Gauss
un reste de grande puissance	chercher le cycle des puissances modulo $n$
« sachant que… »	probabilité conditionnelle, et un arbre
retourner un conditionnement	Bayes, après les probabilités totales
« combien de succès sur $n$ essais »	loi binomiale, après vérification des trois conditions
une estimation hors plage	extrapolation : donner la valeur et la réserve

À retenir

Flashcards · 4 cartes

Première vérification devant ax + by = c en entiers ?: Que pgcd(a, b) divise c. Sinon il n'y a aucune solution, et le dire est la réponse complète.
Comment calculer un reste de très grande puissance ?: En cherchant le rang où la puissance revient à 1 modulo n, puis en réduisant l'exposant modulo ce rang.
Pourquoi une machine fiable peut-elle produire la moitié des défauts ?: Parce que le volume compense le taux. La formule des probabilités totales rend cet effet visible, l'intuition le manque.
Quelle réserve accompagne toute extrapolation ?: Rien ne garantit que la tendance se prolonge hors de la plage observée. L'ajustement décrit les données, il ne prédit pas.